Решение примерного варианта контрольной работы №2
Задача Дано векторное поле 
и уравнение плоскости d: 3x +
y + 2z – 3
= 0. Требуется:
1)
найти поток поля 
через плоскость треугольника
АВС где А, В, и С — точки пересечения плоскости d с координатными осями, в направлении нормали плоскости,
ориентированной «от начала координат»; построить чертеж пирамиды ОАВС,
где О — начало координат;
2)
используя формулу Остроградского-Гаусса,
вычислить поток поля через полную поверхность пирамиды ОАВС в
направлении внешней нормали.
Решение. Определение функциональной зависимости Пусть Х и Y — некоторые
числовые множества и пусть каждому элементу x 
Х по какому-либо закону f
поставлен в соответствие один элемент у Y. Тогда будем говорить,
что определена функциональная зависимость у от x по закону у = f(x). При этом
x называют независимой переменной (или аргументом), у — зависимой переменной,
множество Х — областью определения (существования) функции, множество Y —
областью значений (изменения) функции.
1) Чтобы вычислить поток поля через плоскость треугольника
АВС используем формулу (16): ПАВС =
, где D –
проекция треугольника АВС на плоскость xOy, F –
функция, задающая плоскость d, которой принадлежит треугольник АВС.
Для построения чертежа найдем точки А, В, и С пересечения плоскости d с координатными осями:
.
Построим чертеж пирамиды, отложив на координатных осях точки А, В, С и соединив их с началом координат O (рис. 12).
Из уравнения
плоскости d:
3x + y + 2z – 3
= 0, которое имеет вид F(x, y, z) = 0, находим
.
Поскольку все три проекции градиента положительные, то этот вектор образует с координатными осями острые углы, т.е. направлен «от начала координат» по отношению к плоскости d.
Это означает, что вектор
и орт «внешней» нормали 
,
указанный в задаче, совпадают по направлению, поэтому вычисление потока через
плоскость треугольника АВС сводится к вычислению двойного интеграла:
ПАВС = +
(перед интегралом ставим знак «+»),
где AOВ – проекция треугольника ABC на плоскость xOy.
Для расстановки пределов интегрирования по треугольнику AOВ (рис. 13) найдем уравнение прямой АВ на плоскости xOy:
Вычислим 
и получим подинтегральную функцию, подставив 
=
2 и 
(из уравнения
плоскости):
.
Таким образом, поток поля через плоскость треугольника АВС:
.
Вычислим внутренний интеграл по переменной y:
Вычислим внешний интеграл по переменной х:
.
2) Чтобы вычислить поток поля через полную поверхность пирамиды ОАВС,
воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса:
.
Найдем дивергенцию этого поля по формуле (17):
. Для поля 
получаем:
.
Вычислим поток поля
через полную поверхность пирамиды ОАВС:
, где 
– объем пирамиды ОАВС.
Этот объем можно вычислить, следующим образом:
.
В результате получаем: 
.
Ответы: 1) ПABC = 8,5, рисунок 12; 2) ПОАВС = –2,25.
Производная
скалярного поля по направлению. Градиент скалярного поля. Во 2-м семестре мы уже
рассматривали производную плоского поля (т.е. 
)
по направлению 
,
. Понятие
величины отрезка
определяется
аналогично и для 
.
Напоминаем: величинаотрезка
представляет
собой его длину со знаком "+", если векторы и
одинаково
направлены и длину со знаком "-", если их направления противоположны. Тогда, по
определению, 
.
Если
введена система прямоугольных декартовых координат и вектор задан
направляющими косинусами 
,
то при условии дифференцируемости 
в
т. 
легко
вывести формулу: 
,
где 
- градиент
скалярного поля в
точке .
Разумеется,
понятие градиента можно ввести и без использования системы координат: 
,
т.к. 
- единичный
вектор.
Таким образом, 
,
причем равенство наступает при условии 
.
Наибольшее значение по
всем выборам ,
таким образом, есть 
,
а направление градиента — это как раз тот вектор ,
на котором это наибольшее значение достигается. Итак, направление и модуль вектора
определено
без использования координат. Это говорит об инвариантности этого понятия
и о наличии реальных естественно-научных интерпретаций.
