Решение примерного варианта контрольной работы №2
Задача Проверить, является
ли векторное поле силы 
потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности
поля найти его потенциал и вычислить с помощью потенциала работу силы 
при перемещении единичной массы из точки M(0,1,0) в
точку N(–1,2,3).
Решение.
Для проверки потенциальности векторного поля 
найдем его ротор по формуле
(19): Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях Теорема
Ферма Пусть функция y = f (x ) определена в интервале (а, в ) и принимает
в точке с этого интервала наибольшее или наименьшее на (а, в ) значение. Если
существует f' (с ), то f' (с ) = 0.
Следовательно, поле потенциально.
Для проверки соленоидальности поля найдем его дивергенцию по формуле (17):
Геометрические приложения криволинейных интегралов Криволинейные интегралы имеют многочисленные приложения в математике, физике и прикладных расчетах. В частности, с их помощью вычисляются
- Длина кривой;
- Площадь области, ограниченной замкнутой кривой;
- Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно некоторой оси.
.
Следовательно, поле не соленоидально.
Для нахождения потенциала U(x, y, z) векторного поля возьмем фиксированную точку
В(0, 0, 0), текущую точку С(x, y, z)
и вычислим криволинейный интеграл 
по ломаной ВEKC, звенья которой параллельны осям координат и E(x, 0, 0), K(x, y, 0) (см. рис. 8). По формуле (20) получим:
Получили потенциал поля
, где С – произвольная
постоянная. Для проверки решения найдем градиент потенциала 
: 
. Следовательно, потенциал поля силы найден верно.
Найдем работу векторного
поля 
при перемещении единичной массы из точки M(0,1,0) в точку N(–1,2,3) по формуле (21):
.
Ответы:
поле потенциально,
не соленоидально; 
, где С – произвольная постоянная; работа
А = –10.
Однако для вычисления градиента удобно его координатное представление. Из него, в частности, легко следуют свойства градиента.
(
- дифференцируемая функция)
Пример. Найдем 
,
где 
- модуль
радиус-вектора
.
и
.
По
формуле 5 из этого равенства следует: 
Мы
получили формулу для вычисления гдариента радиальной функции
.
Рассмотрим
теперь поверхность уровня скалярного поля 
,
т.е. поверхность, задаваемую уравнением 
.
Предположим, что -
непрерывно дифференцируемая функция от 
.
Тогда уравнение касательной плоскости в точке 
,
лежащей на этой поверхности, имеет вид 
.
Координаты
вектора градиента представляют собой коэффициенты этого уравнения. Поэтому 
-
нормаль к касательной плоскости в т. и,
по определению, нормаль к самой поверхности уровня в этой точке.
