.Пример 1.9. Методом элементарных преобразований найти обратную матрицу для
матрицы: А= .
Решение. Приписываем к исходной матрице справа
единичную матрицу того же порядка: 
.
С помощью элементарных
преобразований столбцов приведем левую “половину”
к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой матрицей.
Для этого поменяем местами первый и второй столбцы: ~
. К третьему столбцу прибавим первый,
а ко второму - первый, умноженный на -2: 
. Из первого столбца вычтем удвоенный второй, а из третьего
- умноженный на 6 второй; 
. Прибавим третий столбец к первому и второму: 
. Умножим последний столбец на -1:
. Полученная справа от вертикальной
черты квадратная матрица является обратной к данной матрице А. Итак,
А-1 = 
. Найти длину циклоиды, заданной в параметрическом виде
вектором в интервале Геометрические приложения криволинейных интегралов
Пример 1.10.
Найти методом окаймления миноров ранг матрицы 
.
Решение. Начинаем с миноров
1-го порядка, т.е. с элементов матрицы А. Выберем, например, минор (элемент) М1
= 1, расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляя при помощи второй
строки и третьего столбца, получаем минор M2 = 
,
отличный от нуля. Переходим теперь к минорам 3-го порядка, окаймляющим М2. Их
всего два (можно
добавить второй столбец или четвертый). Вычисляем их: 
= 0. Таким образом,
все окаймляющие миноры третьего порядка оказались равными нулю. Ранг матрицы А
равен двум.
Пример 1.11. Найти ранг матрицы А= 
и привести ее к каноническому виду.
Решение. Из
второй строки вычтем первую и переставим эти строки: 
.Теперь
из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5: 
; из третьей строки вычтем первую;
получим матрицу В = 
, которая эквивалентна матрице А, так как получена из
нее с помощью конечного множества элементарных преобразований. Очевидно, что ранг
матрицы В равен 2, а следовательно, и r(A)=2. Матрицу В легко привести к канонической.
Вычитая первый столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим
в нуль все элементы первой строки, кроме первого, причем элементы остальных строк
не изменяются. Затем, вычитая второй столбец, умноженный на подходящие числа,
из всех последующих, обратим в нуль все элементы второй строки, кроме второго,
и получим каноническую матрицу: 
.
Пример 1.12. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна:
5x1 - x2 + 2x3 + x4 = 7,
2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1,
x1 - 3x2 - 6x3 + 5x4 = 0.
Решение. Выписываем расширенную матрицу системы:
`A
= 
.
Вычислим ранг основной матрицы системы.
Очевидно, что, например, минор второго порядка в левом верхнем углу 
= 7 ¹ 0;
содержащие его миноры третьего порядка равны нулю:
M¢3
= 
= 0, M²3 = = 0.
Следовательно, ранг основной матрицы системы равен 2, т.е. r(A)=2. Для вычисления ранга расширенной матрицы `A рассмотрим окаймляющий минор
=
= -35 ¹ 0,
значит, ранг расширенной матрицы r(`A) = 3. Поскольку r(A) ¹ r(`A), то система несовместна.
| На главную сайта Dvoika.net |