Метод Гаусса
Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.
Пример 1.13. Решить систему уравнений методом Гаусса:
x + y - 3z = 2,
3x - 2y + z = - 1,
2x + y - 2z = 0.
Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы
и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками: Геометрические приложения двойных интегралов
а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:
~ 
;
б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:
.
В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:
x + y - 3z = 2,
-5y + 10z = -7,
- 10z = 13.
Из последнего
уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение во второе уравнение, имеем
y = -1,2. Далее из первого уравнения получим
x = - 0,7.
Пример 1.14. Решить методом Крамера систему уравнений:
x1 + x2 + x3 + x4 = 5,
x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = -2,
2x1 - 3x2 - x3 - 5x4 = -2,
3x1 + x2 +2x3 + 11 x4 = 0.
Решение. Главный определитель этой системы
D
= 
= -142 ¹
0,
значит, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные
определители D i (i=
), получающиеся из определителя D
путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при xi, столбцом из свободных
членов:
D 1 = 
= - 142, D 2 = 
= - 284,
D
3 = 
= - 426, D 4 = 
= 142.
Отсюда x1 = D 1/D = 1, x2 = D 2/D = 2, x3 = D 3/D = 3, x4 = D 4/D = -1, решение системы - вектор С=(1, 2, 3, -1)T.
Матричный метод
Если
матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е.
det A ¹
0, то матрица А имеет обратную, и решение системы (5.3) совпадает с вектором C
= A-1B. Иначе говоря, данная система имеет единственное
решение. Отыскание решения системы по формуле X=C, C=A-1B называют матричным способом решения системы,
или решением по методу обратной матрицы.
Пример 1.15. Решить матричным способом систему уравнений
x1 - x2 + x3 = 6,
2x1 + x2 + x3 = 3,
x1 + x2 +2x3 = 5.
Решение. Обозначим
A = 
,
X = (x1, x2, x3)T, B = (6, 3, 5) T.
Тогда данная система уравнений запишется
матричным уравнением AX=B. Поскольку D
= det =5 ¹ 0, то матрица A невырождена и поэтому имеет обратную:
А-1
= 1/D 
.
Для получения решения X мы должны умножить вектор-столбец B слева на матрицу A: X = A-1B. В данном случае
A-1 = 
и, следовательно,
=
.
Выполняя действия над матрицами, получим:
x1 = 1/5(1×6+3×3-2×5) = 1/5 (6+9-10) = 1,
x2 = 1/5 (-3×6 +1×3 - 1×5) = 1/5 (- 18 + 3 + 5) = -2,
x3 = 1/5 (1×6 - 2×3 + 3×5) = 1/5 (6 -6 + 15) = 3.
Итак, С = (1, -2, 3)T.
Пример 1.16. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна.
x1 + x2 - 2x3 - x4 + x5 =1,
3x1 - x2 + x3 + 4x4 + 3x5 =4,
x1 + 5x2 - 9x3 - 8x4 + x5 =0.
Решение. Будем находить ранги матриц A и `A методом элементарных преобразований, приводя одновременно систему к ступенчатому виду:
~ 
~ 
.
Очевидно, что r(A) = r(`A) = 2. Исходная система равносильна следующей, приведенной к ступенчатому виду:
x1 + x2 - 2x3 - x4 + x5 = 1,
- 4x2 + 7x3 + 7x4 = 1.
Поскольку определитель при неизвестных x1 и x2 отличен от нуля, то их можно принять в качестве главных и переписать систему в виде:
x1 + x2 = 2x3 + x4 - x5 + 1,
- 4x2 = - 7x3 - 7x4 + 1,
откуда x2 = 7/4 x3 + 7/4 x4 -1/4, x1 = 1/4 x3 -3/4 x4 - x5 + 5/4 - общее решение системы, имеющей бесчисленное множество решений. Придавая свободным неизвестным x3, x4, x5 конкретные числовые значения, будем получать частные решения. Например, при x3 = x4 = x5 = 0 x1= 5/4, x2 = - 1/4. Вектор C(5/4, - 1/4, 0, 0, 0) является частным решением данной системы.
Пример 1.17. Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от значения параметра а.
2x1 - x2 + x3 + x4 = 1,
x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = 2,
x1 + 7x2 - 4x3 + 11x4 = a.
Решение. Данной системе соответствует матрица`А=
. Имеем `А ~ 
~ 
, следовательно, исходная система равносильна
такой:
x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = 2,
5x2 - 3x3 + 7x4 = a-2,
0 = a-5.
Отсюда видно, что система совместна только при a=5. Общее решение в этом случае имеет вид:
x2 = 3/5 + 3/5x3 - 7/5x4, x1 = 4/5 - 1/5x3 - 6/5x4.
| На главную сайта Dvoika.net |