Линейные уравнения и уравнения Бернулли.
Уравнения в полных дифференциалах.
Задания для подготовки к практическому занятию
Прочитайте лекции, §25.5-7 и предложенные примеры. Ответьте на вопросы и решите задачи
Примеры: Даны ОДУ 1-го порядка. Определить их тип (если возможно):
а)
; б)
; в)
г) 
; д) 
а) Уравнение дано в дифференциальной форме. Оно
не является уравнением с разделяющимися переменными и однородным. Представим его
в нормальной форме, разрешив относительно 
: 
. Это линейное уравнение (относительно у), в котором 
.
б)
Легко видеть, что уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными
и однородным. Представим его в нормальной форме, разрешив относительно 
:
. Очевидно, оно не является линейным
относительно у, так как переменная у входит в него не как множитель первой степени.
Но мы можем также разрешить это уравнение относительно 
:
. Это уравнение является линейным относительно
х, причем 
.
в) Уравнение не является уравнением с разделяющимися
переменными или однородным. Разрешим его относительно : 
. В правую часть полученного уравнения у входит дважды:
как множитель 1 степени и как множитель степени –2. Следовательно, это уравнение
Бернулли относительно у, причем a=-2
г) Нетрудно убедиться, что уравнение не относится к уравнениям с разделяющимися переменными, однородным (и приводящимся к ним), линейным или уравнениям Бернулли. Проверим, не является ли оно уравнением в полных дифференциалах. Здесь
.
Найдем частные производные этих функций по у и по х соответственно:
.
Очевидно, 
, то есть данное уравнение
является уравнением в полных дифференциалах.
д) Снова проверим, не является
ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах, поскольку к остальным
известным нам типам оно не принадлежит. Здесь 
.
.
Полученные выражения не совпадают, следовательно, это не уравнение в полных дифференциалах.
Однако
- не зависит от
у, следовательно, легко подобрать интегрирующий множитель и привести данное уравнение
к уравнению в полных дифференциалах (см. с.15)
Вопросы и задачи
п1. Определить, если возможно, тип уравнений:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
Задачи к практическому занятию
1.
;
2.; 3.
;
4.
;
5.
;
6. 
; 7.
;
8.
;
9.
;
10.
; 11.
. 12.;
13.
; 14. 
Основные элементарные функции. Пределы элементарных функций. Свойства пределов
| На главную сайта Dvoika.net |