Найти момент инерции однородной круглой пластинки
(x – a)2 + (y — b)2 < 4b2 относительно начала координат.
Решение.
В силу однородности пластинки положим ее плотность γ(х,у) = 1.
Центр
круга расположен в точке C(a, b), а его радиус равен 2b. Найти произведение АВ
прямоугольных матриц 
и 
. Решение 1.
Сопоставляя размеры заданных матриц.
Уравнения границ пластинки имеют вид
Вычислим каждый из полученных интегралов отдельно.
Для вычисления интеграла I1 сделаем
замену: 
при x = a — 2b 
при x = a + 2b
Для вычисления интеграла I2 преобразуем подынтегральную функцию по формуле разности кубов:
Тогда
Следовательно,
Моменты инерции фигуры D относительно осей Ох и Оу:
(15)
5) Масса плоской фигуры D переменной поверхностной плотности γ = γ (х, у):
(16)
Пример 3.
Найти массу пластинки D плотности γ = ух3, если 
Решение.
Координаты центра масс плоской фигуры переменной поверхностной плотности γ = γ (х, у):
(17)
Пример 4.
Найти центр тяжести однородной пластины D, ограниченной кривыми у2 =
ах и 
Решение.
Так как пластина однородна, т.е. ее плотность постоянна, то можно принять ее за единицу.
Тогда
Найдем массу пластины, а для этого определим абсциссу точки пересечения ограничивающих ее линий:
Соответственно
6) Объем тела V:
(18)
Пример 5.
Найти объем тела V, ограниченного поверхностями 
Решение.
Найдем
проекцию тела на плоскость Оху (при этом заметим, что плоскость 
проектируется на эту плоскость в виде прямой
х = 0):
Определим абсциссу точки пересечения кривых у = х2 и х + у = 2:
посторонний корень. Тогда, используя формулу (18), получаем:
7) Масса тела V плотности γ = γ (x, y, z):
(19)
8) Моменты инерции тела V относительно координатных осей и начала координат:
(20)
(21)
где γ (х, y, z) — плотность вещества.
Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oyz, Oxz, Oxy:
(22)
9) Координаты центра масс тела:
(23)
