Геометрические и физические приложения
Длина кривой.
Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:
(39)
2) Масса кривой.
Считая, что подынтегральная функция γ (x, y, z) определяет плотность каждой точки кривой, найдем массу кривой по формуле
(40)
Вычислить четность (нечетность) функций подробнее http://predtm.ru/
Пример 6.
Найти
массу кривой с линейной плотностью 
заданной в полярных координатах уравнением
ρ = 4φ, где 
Решение.
Используем формулу (40) с учетом того, что кривая задана в полярных координатах:
3) Моменты кривой l:
- (41)
статические моменты плоской кривой l относительно осей Ох и Оу;
- (42)
момент инерции пространственной кривой относительно начала координат;
-
(43)
моменты инерции кривой относительно координатных осей.
4) Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам
.
(44)
5) Работа силы 
, действующей на точку, движущуюся по кривой (АВ):
, (45)
Пример 7.
Вычислить работу векторного
поля 
вдоль отрезка прямой от точки А(-2;-3;1) до точки В(1;4;2).
Решение.
Найдем канонические и параметрические уравнения прямой АВ:
Площадь криволинейной поверхности, уравнение которой
z = f(x, y), можно найти в виде:
(46)
(Ω — проекция S на плоскость Оху).
7) Масса поверхности
(47)
Пример 8.
Найти массу поверхности
с поверхностной плотностью γ = 2z2 + 3.
Решение.
На
рассматриваемой поверхности 
Тогда
Проекцией D этой поверхности на координатную плоскость Оху является полукольцо с границами в виде дуг концентрических окружностей радиусов 3 и 4.
Применяя формулу (47) и переходя к полярным координатам, получим:
8) Моменты поверхности:
(48) статические моменты поверхности относительно координатных
плоскостей Oxy, Oxz, Oyz;
(49)
моменты инерции поверхности относительно координатных осей;
- (50)
моменты инерции поверхности относительно координатных плоскостей;
- (51)
момент инерции поверхности относительно начала координат.
Координаты центра масс поверхности:
. (52)
III. Теория поля
Если в каждой точке М определенной пространственной области задано значение некоторой скалярной или векторной величины, то говорят, что задано поле этой величины (соответственно скалярное или векторное).
Если в некоторой области задано скалярное поле U(x,y,z), то вектор
(53)
называется градиентом величины U в соответствующей точке.
Пусть дано векторное поле 
. Интеграл
(54)
называется линейным интегралом от вектора
вдоль кривой L. Если кривая L замкнута, то
этот интеграл называют циркуляцией вектора вдоль кривой L.
