Вычислить циркуляцию векторного поля 
по контуру Г, состоящему из частей линий 
(направление обхода положительно).
Решение.
Воспользуемся формулой Грина:
Найти интеграл от рациональной дроби пример http://predtm.ru/ Решение. Представляем квадратный многочлен в знаменателев виде произведения двух сомножителей:
Ротором или вектором вихря векторного поля A = {Ax, Ay, Az}, где Ax, Ay, Az — функции от x, y, z, называется вектор, определяемый следующим образом:
(55)
Рассмотрим векторное поле А(М), определенное
в пространственной области G, ориентированную гладкую поверхность S 
G и поле единичных нормалей п(М) на
выбранной стороне поверхности S.
Поверхностный интеграл 1-го рода
(56)
где An — скалярное произведение соответствующих векторов, а Ап — проекция вектора А на направление нормали, называется потоком векторного поля А(М) через выбранную сторону поверхности S.
Пример 10.
Найти
поток векторного поля 
через часть плоскости 
ограниченную координатными плоскостями (нормаль к плоскости
образует острый угол с осью Oz).
Решение.
Проекцией данной поверхности на координатную плоскость Оху является треугольник с вершинами в точках А(0;0), В(0;1), С(½; 0). Найдем координаты единичной нормали к плоскости:
Вычислим соответствующий поверхностный интеграл (формула (56)):
Дивергенцией векторного поля A = {Ax, Ay, Az}, где Ax, Ay, Az — функции от x, y, z, называется
. (57)
Пример 11.
Найти дивергенцию и ротор
векторного поля 
где 
Решение.
Найдем координаты вектора а:
Тогда
Векторное поле A = {Ax, Ay, Az} называется потенциальным, если вектор А является градиентом некоторой скалярной функции u = u(x, y, z):
A = grad u = 
. (58)
При этом функция и называется потенциалом данного векторного поля.
Пример 12.
Проверить, является ли векторное поле
потенциальным, и в случае положительного ответа найти потенциал и, считая, что в начале координат он равен нулю.
Решение.
Поле является потенциальным, если выполнены следующие условия:
В нашем случае
Следовательно,
поле 
потенциальное. Найдем его потенциал и, считая, что и(0;0;0)
= 0:
Векторное поле A = {Ax, Ay, Az} называется соленоидальным в области D, если в каждой точке этой области
div A = 0. (59)
