Следующая задача об экстремумах функций двух переменных и об отыскании наибольших и наименьших значений функции двух независимых переменных. Функция ограниченная и дифференцируемая в замкнутой области достигает в этой области своего наибольшего и наименьшего значения или во внутренних точках этой области, которые являются точками стационарности функции или на её границе. Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, надо:
Найти стационарные
точки функции, для чего следует решить систему уравнений 
Вычислить в стационарных точках значения функции
Найти наибольшие и наименьшее значение функции на каждой линии, ограничивающей область;
Сравнить все полученные значения. Наибольшее из них будет наибольшим, а наименьшее — наименьшим значением функции в замкнутой области.
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значение
функции 
в ограниченной замкнутой области
D: 
Найти
линейное уравнение регрессии и оценить тесноту связи для статистических данных
приведенных в таблица 5.
Решение: Точка 
являются точкой экстремума (максимума или минимума) функции
z=f(x,y), если значение функции в этой точке соответственно больше или меньше
значений, принимаемых ее в некоторой окрестности точки 
, то есть при всех x и y достаточно близких
к 
и 
. Точка P, координаты которой обращают в нуль
обе частные производные функции f(x,y) называются стационарной точкой этой функции.
Найдем стационарные точки функции z(x,y)
Стационарная точка y функции z одна. Это точка 0.
Входит ли точка (0,0) в область D? Построим эту область.
-
- парабола с вершиной в точке
(0,-4). Точки пересечения с осью x: 
, 
, 
- y=0 — ось x.
Точка (0,0) входит в область
D. Установим, является ли стационарная точка 0 точкой экстремума. Это делается
так: Пусть стационарная точка функции z=f(x,y). Вычислим
в этой точке
. 
. 
Если 
,
то функция f(x,y) имеет в точке экстремум:
max-при A<0 и min при A>0.
Если
, то точка не
является точкой экстремума.
Если 
,
то требуется дополнительное исследование.
Исследуем нашу функцию z по формулам.
3.
,
точка (0,0) не является точкой экстремума.
4. Исследуем поведение функции на границе.
Так как Z не имеет ни max ни min, ее наибольшим и наименьшем значением является наибольшее и наименьшее из значений, принимаемых на границе.
Для того, чтобы найти наибольшее или наименьшее из значений, принимаемых на границе.
4а.
Рассмотрим верхнюю границу y=1. На ней функция Z(x,1) превращается в 
, 
в этой точке возможен экстремум. Знак
производной меняется с — на +, то есть в точке - минимум z =-2.25
при 
В точке 
4б. Рассмотрим
нижнюю границу 
В
точке 
производная меняет знак
с - на +, следовательно, это точка минимума 
В
точке 
производная меняет знак
с + на -, следовательно, это точка максимума 
. При 
функция z уже вычислялось. Видим, что от 
функция убывает до 
, затем возрастает до 
а затем убывает до 
.
То есть наименьшее значение
для всей границы 
, а наибольшее 
Ответ: Наибольшее значение функции z в замкнутой
области D 
, наименьшее 
.
