Следующая задача посвящена нахождению вектора — градиента для функции нескольких переменных.
вектор-градиент обозначается grad u или Ñu.
Пример 1. Даны функция трех
переменных 
, вектор 
и точка 
.
Найти: 1) Grad u в точке M0;
2) производную
в точке M0 по направлению вектора 
;
3) наибольшую крутизну поверхности u в точке M0.
Решение:
1) Вектором градиентом функции трех переменных u(x,y,z) является вектор
grad 
(или 
в случае двух переменных)
Линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка перейти http://predtm.ru/
Найдем частные произведения функции u:
Из определения градиента следует, что эти частные производные являются проекциями вектора-градиента на оси координат. Вычислим значения частных производных в точке Mo.
Следовательно вектор-градиент в точке M0 имеет вид:
2)
Производная по направлению вектора 
вычисляется по формуле 
, то есть равна скалярному произведению вектора
градиента на единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором 
.
Так как 
,
то его длина 
и, следовательно,
единичный вектор, совпадающий по направлению с , 
, используя формулу скалярного произведения в координатной
форме 
, получим
Итак
производная функции u по направлению вектора равна 
.
3) Поскольку |grad u| есть наибольшее значение
производной 
в данной точке P, а направление grad
u совпадает с направлением луча, выходящего из точки P, вдоль которого функция
меняется быстрее всего, то направление градиента есть направление наискорейшего
возрастания функции u(x,y,z)
|grad u| = 
.
Рассмотрим теперь интегрирование функций нескольких переменных.
Двойным интегралом от функции 
по области D называется предел интегральной
суммы при условии, что число элементарных областей n стремится к бесконечности,
а наибольший из диаметров элементарных областей стремится к нулю:
Если функция непрерывна в замкнутой области D, то предел интегральной
суммы существует и не зависит от способа разбиения области D на элементарные и
от выбора точек Рк
Если >0 в области D, то двойной интеграл
геометрически
есть объём цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью 
,
сбоку цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ, и снизу
областью D плоскости ХОY.
Основные свойства интегралов
1.
2.
где С — постоянная
3. Если область интегрирования D разбита на две области D1 и D2, то
Различают два основных вида области интегрирования:
Область интегрирования
D ограничена слева и справа прямыми х=а и х=в (a<в), а снизу и сверху непрерывными
кривыми y=φ1(x) и y=φ2(x) 
,
каждая из которых пересекается вертикальной прямой только в одной точке / рис.1/.
По такой области двойной интеграл вычисляется по формуле:
Причем
сначала вычисляется внутренний интеграл 
в котором х считается постоянным.
Область
интегрирования D ограничена снизу и сверху прямыми y=c и y=d (c<d) , а слева
и справа непрерывными кривыми х=φ1(y) и х=φ2(y) 
каждая из которых пересекается горизонтальной прямой только в одной точке ( рис.
2).
В такой области двойной интеграл вычисляется по формуле:
Причем
сначала вычисляется интеграл 
в котором y считается постоянным.
Правые части формул называются двукратными или повторными интегралами. В более общем случае область интегрирования путем разбиения на части сводится к основным.
