Задание 5. Построить область плоскости 
, определяемую данными неравенствами:
а). 
б). 
а). Искомым множеством является пересечение кольца
и внутренней части угла 
:
б).
Кривую 
запишем в декартовых координатах:
Итак,
.
Или 
,
- Лемниската Бернулли.
Неравенство определяет точки, лежащие на лемнискате и внутри ее. Неравенство
определяет точки, лежащие правее прямой 
Искомым множеством является пересечение
этих областей:
Задание
6. Проверить, может ли функция 
быть действительной частью некоторой аналитической
функции 
, если да — восстановить ее, при условии 
.
Решение.
Найдем частные производные:
Следовательно,
,
.
Таким образом, функция
гармоническая в плоскости 
, и, значит существует такая аналитическая в
функция ,
что 
.
В силу условий Коши-Римана имеем:
(1)
(2)
Интегрируем уравнение (1) по переменной у, находим мнимую часть с точностью
до слагаемого 
:
.
(3)
Продифференцируем (3) по х:
Сопоставляя
результат с (2), получаем 
, откуда 
.
Таким образом, имеем
и 
Учитывая условие , получаем 
.
Итак, 
| На главную сайта Dvoika.net |