Задание 7. Найти область плоскости 
, в которую отображается с помощью функции 
область 
: 
плоскости 
.
Решение.
Для того чтобы найти образ области
при отображении 
, нужно найти образ границы 
области , затем взять произвольную точку из области и найти ее образ.
Правило для определения уравнения образа кривой.
Пусть в области 
кривая задана 
. Чтобы найти уравнение образа 
этой кривой в плоскости 
при отображении с помощью функции 
,
нужно исключить 
и 
из уравнений:
(1)
Если кривая задана параметрическими уравнениями:
или 
,
то параметрические
уравнения её образа при отображении будут
В
данном примере граница области состоит из трех частей: 
. Найдем ее образ при данном отображении.
Выделим и действительную и мнимую части функции.
;
,
.
Возьмем первую часть границы и найдем ее образ. Составим систему (1):
Возведем в квадрат первое и второе уравнения системы и сложим:
.
Окончательное
уравнение границы 
при 
.
Аналогично находим образ 
: 
при 
.
Образ 
находим из системы:
Следовательно,
образ границы : 
при 
и 
при 
; 
. Изобразим образы границ 
на плоскости .
Для изображения образа области на плоскости возьмем контрольную точку. Точка 
обратится в точку 
.
| На главную сайта Dvoika.net |