Задание 8. Найти все лорановские разложения данной функции 
по степеням 
. Указать главную и правильную части
ряда.
а) 
, 
;
б) 
, 
.
Решение.
а) Функция имеет две особые точки 
и 
. Отметим их на плоскости Z, проведем 2 окружности с центром
в точке , проходящие соответственно через точки и . Следовательно, имеется три области, в каждой
из которых функция 
является аналитической:
1)
;
2) кольцо 
;
3) область 
, являющаяся внешностью круга 
.
Найдем ряды Лорана для функции в каждой из этих областей, используя формулу
(1)
справедливую при 
.
Представим функцию в виде суммы элементарных дробей:
.
1)
Рассмотрим круг . Запишем элементарные дроби 
и 
в виде 
, где при . Представим функцию следующим образом: 
. Теперь к таким дробям применима формула
(1).
Так как в рассматриваемой области , то в силу формулы (1) 
. Так как и тем более 
(если , то тем более 
), значит, в силу формулы (1) 
.
Следовательно, 
=
=
Полученное разложение содержит только правильную часть ряда Лорана.
2) Рассмотрим
кольцо . В этой области запишем рассматриваемую функцию в виде
. В знаменателях дробей мы записали
выражения вида 
, где .
Так как 
, то 
и в силу формулы (1) 
. Так как , то, как и в предыдущем случае, .
Следовательно, 
=
=
.
Полученное разложение содержит и правильную, и главную часть ряда Лорана.
3) Рассмотрим область . В этой области , поэтому в силу формулы (1) .
В рассматриваемой области 
, значит 
и поэтому
.
Функцию
представим в виде 
. В силу полученных разложений имеет место равенство
=
.
Полученное разложение содержит только главную часть ряда Лорана.
б) Функция имеет 2 особые точки и , отметим их на плоскости Z. Точка 
совпадает с точкой . Проводим окружность с центром в точке
, проходящую через точку 
.
Следовательно существуют две области, в каждой
из которых функция является аналитической:
1) кольцо 
2) кольцо 
Найдем ряды Лорана для функции в каждой из этих областей, используя формулу (1). Представим
функцию в виде суммы элементарных дробей:
1)
Требуется получить разложение функции по степеням z–1 в области . Первая дробь уже представляет собой
степень 
. Для того, чтобы вторую дробь представить в искомом виде,
сделаем замену 
, тогда 
и 
. Дробь 
разложим по степеням 
как в предыдущем примере. При 
воспользуемся представлением:
;
Сделаем
обратную замену. Получим, что при 
функция представима в виде
.
Полученное разложение содержит правильную и главную часть ряда Лорана.
2) Аналогично,
сделав замену , получаем представление дроби в области 
Сделав
обратную замену, получаем, что при функция представима в виде:
.
В первом случае главная часть ряда Лорана содержит только одно слагаемое, во втором случае ряд Лорана состоит только из одной главной части.
| На главную сайта Dvoika.net |