Задание 9. Разложить в ряд Лорана функцию 
в окрестности особой точки 
.
Решение. Воспользуемся известным разложением:
Задание
10. Для функции 
найти изолированные особые точки, провести их классификацию,
вычислить вычеты относительно найденных точек.
a) 
;
б) 
;
в) 
.
Решение.
а). Особой точкой функции является
точка 
. Чтобы определить вид особой точки разложим
функцию в ряд Лорана по степеням 
:
Главная
часть ряда Лорана содержит конечное число слагаемых, значит
- полюс. Порядок высшей отрицательной степени 
определяет порядок полюса. Следовательно, - полюс кратности 2. Вычет найдем,
используя формулу 
, тогда 
.
б). Особой точкой функции является точка . Чтобы определить вид особой точки используем
признак поведения функции в особой точке.
,
значит 
устранимая точка и, следовательно
.
в). Особой точкой функции является точка 
. Чтобы определить вид особой точки используем
разложение функции в ряд Лорана по степеням 
:
Главная
часть ряда Лорана содержит бесконечное число слагаемых, значит - существенно особая точка. Тогда 
,
т.к. коэффициент при 
равен нулю.
| На главную сайта Dvoika.net |