Задание 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов. Рассмотрим этапы проверки гипотезы и используемые при этом понятия. Этап 1. Располагая выборочными данными и руководствуясь конкретными условиями рассматриваемой задачи, формулируют гипотезу Но, которую называют основной или нулевой, и гипотезу Н1 конкурирующую с гипотезой Н0.
а) 
;
б) 
;
в)
.
Решение.
а) Сформулируем правило, позволяющее вычислять несобственные интегралы от рациональной функции действительного переменного с помощью теории функций комплексного переменного:
Пусть
- рациональная функция, 
, где 
и 
- многочлены степени 
и 
соответственно. Если функция непрерывна на всей действительной оси и 
,
т.е. степень знаменателя по крайней мере на две единицы больше степени числителя,
то
где 
означает сумму вычетов функции 
по всем полюсам, расположенным в верхней
полуплоскости.
Так как подынтегральная функция 
четная, то =
. Построим функцию 
, которая на действительной оси (при 
) совпадает с подынтегральной функцией
. Особые точки функции 
- это точки 
и 
. Из них в верхней полуплоскости находится точка ,
которая является полюсом второго порядка. Вычет функции относительно полюса 
равен 
=
. Так как в верхней полуплоскости только одна особая точка,
то 
. Следовательно, =
.
б) Сформулируем правило, позволяющее вычислить рассматриваемый несобственный интеграл с помощью теории функций комплексного переменного:
Пусть - рациональная функция, , где и - многочлены степени и соответственно. Если функция непрерывна на всей действительной оси, 
,
- произвольное действительное число,
то
; 
где
означает сумму вычетов функции 
по всем полюсам, расположенным в верхней
полуплоскости.
Так как подынтегральная функция 
является четной, то =
. Построим функцию 
=
такую, что на действительной оси (при ) совпадает с : 
. Отметим, что при справедливо равенство 
. Функция имеет в верхней полуплоскости полюс первого порядка в
точке 
. Вычет функции
относительно этого полюса равен 
=
. Следовательно, = и =
.
в) Сформулируем правило, позволяющее вычислить определенный интеграл функции, зависящей рационально от тригонометрических функций с помощью теории функций комплексного переменного:
Пусть 
- рациональная функция аргументов 
и 
, 
и функция непрерывна внутри промежутка интегрирования. Полагаем
, тогда 
, 
, 
, 
. В этом случае
=
где есть сумма вычетов функции 
относительно полюсов, заключенных внутри окружности
.
В рассматриваемом интеграле
применим подстановку и после преобразований получим: =
. Внутри круга радиуса 1 с центром
в начале координат содержится только одна особая точка подынтегральной функции
- это точка 
, которая является полюсом второго порядка. Вычет функции
относительно точки
равен 
=
. Следовательно, =
.
| На главную сайта Dvoika.net |