ЗАДАНИЕ 7. Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями.
Приведем решение двух задач на вычисление объемов тел, рассматривая тела с различной геометрией поверхности.
1) 
,
2) 
. По формуле Бернулли можно подсчитать
РЕШЕНИЕ.
1). Тело 
ограничено двумя поверхностями: параболоидом 
и плоскостью 
. Изобразим это тело
на чертеже (рис.75).
Рис.75
Данное тело является 
-цилиндрическим брусом (рис.72); боковая поверхность выродилась
в линию пересечения заданных поверхностей. Найдем область, в которую тело проектируется
на плоскость 
, для чего из уравнений поверхностей, ограничивающих тело,
следует исключить переменную (т.е. совершить ортогональное проектирование):
и 
.
Таким
образом, областью (
) является круг с центром в точке (0; 1) радиуса 
=1
(см. рис.75).
Объем тела может быть вычислен с помощью тройного интеграла
по формуле 
. В декартовой системе координат тройной интеграл записывается
через повторный следующим образом:
,
откуда видно, что его вычисление сопряжено со значительными трудностями (на завершающей стадии вычисления повторного интеграла).
Запишем интеграл в цилиндрической
системе координат 
, с которой декартова
система связана формулами
.
Якобиан
преобразования 
. Формула перехода (в интеграле) имеет вид
.
В нашем случае
.
Запишем уравнения параболоида и плоскости в цилиндрической системе координат:
;
.
Для окружности 
имеем 
; угол 
, очевидно, необходимо менять в пределах от 0 до 
.
Таким образом ,
=
=
=
.
Ответ. 
=
.
2) Изобразим тело , ограниченное поверхностями цилиндра 
, параболоида 
и плоскостью 
(рис.76).
Рис.76
| На главную сайта Dvoika.net |