ЗАДАНИЕ 8. Найти объем тела 
, ограниченного поверхностями
а) 
; б) 
; в) 
.
РЕШЕНИЕ.
Изобразим тело, ограниченное
двумя концентрическими сферами с центрами в начале координат и радиусами 8 и 12
и (“снизу”) конусом 
; от полученного таким образом тела плоскостями 
и 
“отрезается” заданное условием задачи
тело (V) (рис.77) .
Рис.77
Объем тела может быть вычислен по формуле 
. Рассматривая тело в декартовой системе
координат, видим, что оно не является ни 
-, ни 
-, ни 
-цилиндрическими брусами (см. рис.72); разбиение тела на
z- цилиндрические бруски является само по себе не простой задачей, не говоря уже
о вычислении повторных интегралов. “Конструкция” тела такова, что вычисление тройного интеграла
удобнее провести в сферической системе координат r,,
связанной с декартовой системой координат формулами:
;
; 
.
Якобиан такого преобразования 
. Для объема получим:
.
Чтобы тройной интеграл записать в виде повторного, перейдем в уравнениях ограничивающих тело поверхностей к сферическим координатам. Следует использовать соотношения
.
Уравнение
переходит в 
, уравнение 
в 
; для уравнения конуса получим последовательно: 
, 
и 
, откуда 
и 
; уравнение плоскости переходит в уравнение 
, уравнение плоскости 
в 
, т.е. в 
. Таким образом,
.
Так как подынтегральная функция представляет собой произведение функций, каждая из которых зависит только от одной переменной, а пределы интегрирования постоянны, то повторный интеграл представляет собой просто произведение трех интегралов
;
=
=
;
.
Для объема тела получим
.
Ответ.
.
| На главную сайта Dvoika.net |