ЗАДАНИЕ 9. Найти массу пластинки
(
):
, 
Плотность массы пластинки 
|
РЕШЕНИЕ. Область (
Подставляя заданную плотность
|
|
.
в двойной интеграл, для массы получим
.
Рис.78Очевидно, что область
() не является ни 
-, ни 
- трапецией; при вычислении двойного интеграла в декартовой
системе координат область () пришлось бы разбить на три области. Как для областей,
заключенных между концентрическими окружностями с центром в начале координат “родной”
является полярная система координат, так и для эллиптических колец “своей “ является
эллиптическая система координат (обобщенная полярная система координат)
;
.
Выбор 
обусловлен соображениями удобства при вычислении интегралов.
Положим для заданной области 
:
;
.
Якобиан преобразования
вычисляется по формуле 
.
Совершим преобразование области
(): уравнение эллипса 
перейдет в 
, т.е. 
эллипс преобразуется в
окружность
радиуса 1; эллипс 
переходит в окружность 
; прямая 
в луч 
, прямая 
в луч 
(действительно, 
и 
). Запишем двойной интеграл в обобщенной полярной системе
координат:
.
В
данном случае повторный интеграл есть произведение двух определенных интегралов,
так как внутренний интеграл по 
есть скаляр. Вычислим их:
;
.
Таким
образом, 
.
Ответ. Масса пластинки равна 1.
| На главную сайта Dvoika.net |