ЗАДАНИЕ 14. Исходя из определения производной, найти f ¢(0) для
f(x)=
РЕШЕНИЕ.
По определению f ¢(x0)=
. Запишем в других обозначениях, введя переменную
x=x0+
x и заменив x на x x0:
f ¢(x0)
= 
. В нашем случае x0=0 и f(x0)=0, поэтому
f
¢(0)=
. В понятии предела сама точка x0=0 не рассматривается,
поэтому берем f(x)= 
. При вычислении пределов в задачах под номером 12 необходимо
использование эквивалентных бесконечно малых при x
0. Напоминаем их:
x ~ sin x ~ arcsin x ~ tg x ~ arctg x ~ ln(1+x) ~ ex 1; loga(1+x) ~ x loga e = x / lna;
ax 1 ~ x lna; (1+x)1 ~ xпри любом действительном ; 1 cos x ~ x2/2.
В нашем случае x sin
=0 произведение бесконечно малой на ограниченную
поэтому 
arctg(x sin
) ~ (x sin) и
~ arctg(x sin),
так как y= arctg(x sin) — бесконечно малая приx0 и
= 
1 = (1+y)1
~ (1/2)y.
Применяя полученные результаты, вычисляем предел
f
¢(0) = 
=
= 
sin.
Делаем вывод: предел не существует, так как sin
t при t
не стремится к одному определенному
значению, а изменяется от –1 до 1 на любом интервале вида (b, ¥).
Ответ.
Производная f ¢(0) у заданной функции
f(x) не существует.Заметим, что f(x) является непрерывной в точке
x0=0, поскольку из факта xsin=0 следует = 0, что совпадает со значением функции в точке, заданным
в условии задачи.
| На главную сайта Dvoika.net |