ЗАДАНИЕ 17. Для функции y(x), заданной неявно уравнением xey yex+x=0, найти y¢x и y¢¢xx (аналитические выражения и значения в точке x0=0).
РЕШЕНИЕ.
Дифференцируем левую часть уравнения по переменной x, рассматривая её как сложную функцию x·e y(x) y(x)·ex + x. Сложная функция тождественно равна нулю, а потому равна нулю и её производная:
e y+ x·e y· y¢ y¢·ex y·ex+1=0.
Решаем это уравнение относительно производной y¢x: y¢x
= 
. Для нахождения y¢¢xx
дифференцируем полученное равенство, снова рассматривая его правую часть как сложную
функцию от x
y¢x = 
;
y¢¢xx
=
.
Вычисляем значения производных в точке x0=0. Нам не удалось получить производные в виде функций одной переменной x: y¢x выражена через x, y ; y¢¢xx выражена через x, y, y¢x . Из уравнения, задающего неявную функцию, находим соответствующее x0=0 значение y0=0; вычисляем y¢x(0)=2; наконец, вычисляем y¢¢xx(0)=0.
Часто более простым способом нахождения y¢¢xx является повторное дифференцирование заданного уравнения. В нашем случае это означает дифференцирование уравнения e y+ x·e y· y¢ y¢·ex y·ex+1=0:
e y· y¢ + e y· y¢+ x·e y·( y¢)2+ x·e y· y¢¢ y¢¢·ex– y¢·ex — y¢·ex y·ex = 0.
Отсюда
y¢¢xx
=
.
Подставив значения y¢x, можно увидеть, что два внешне различных выражения для y¢¢xx, найденные разными способами, совпадут.
Ответ.
y¢x = ; y¢x(0)=2;
y¢¢xx
=; y¢¢xx(0)=0.
| На главную сайта Dvoika.net |