ЗАДАНИЕ 21. Многочлен f(x)=3x4 22x3 + 60x2 73x + 39 по степеням x представить в виде многочлена по степеням (x 2).
РЕШЕНИЕ.
Известно,
что для дифференцируемой 4 раза в точке x0 функции f(x) существует лишь один многочлен,
приближающий её в окрестности этой точки с точностью до слагаемого о((x
x0)4) это многочлен Тейлора обозначим его 
:
f(x) = + о((x x0)4).
В случае, когда сама f(x) является многочленом 4-й степени, получим f(x) = , то есть о((x x0)4) = 0.
Поэтому коэффициенты искомого многочлена можно найти с помощью формулы Тейлора
=
=
f(x0) + f ¢(x0)( x x0) +
(
x x0)2 +
( x
x0)3 +
( x x0)4.
В нашем случае x0=2. Вычисляем f(x0) и производные функции f(x) в точках x и x0: f(2) = 5; f ¢( x) = 12 x3 66 x2 + 120 x 73, f ¢(2) = 1;
f ¢¢( x) = 36x2 132x + 120, f ¢¢(2) = 0; f ¢¢¢( x) = 72x 132, f ¢¢¢(2) = 12;
(
x) = 72, (2) = 72.
Ответ. f(x)= 5 ( x 2) + 2( x 2)3 + 3( x 2)4.
ЗАДАНИЕ 22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию f(x) в окрестности точки x0 с точностью до о((x x0)3): f(x)=sin(ex 1), x0 = ln .
РЕШЕНИЕ. Применяем формулу Тейлора
f(x)= f(x0) + f ¢(x0)(
x x0) +( x x0)2
+( x x0)3+ о((x
x0)3).
Вычисляем последовательно: f(ln ) = sin(1) = sin1;
f ¢( x) = cos(ex)×ex , f ¢(ln ) = cos(1) = — cos1;
f ¢¢( x) = sin(ex1)×e2x cos(ex1)×ex, f ¢¢(ln ) = –2sin1 — cos1;
f ¢¢¢( x) = 3×sin(ex1)×e2x + (ex e3x)cos(ex1),
f ¢¢¢(ln ) = –32sin1 1–2cos1.
Ответ.
f(x)= sin1–cos1(xln ) –
(xln
)2 –
(xln
)3 + о((xln )3). Вычислив приближённо число ln
и коэффициенты, запишем ответ в форме
f(x)= 0,842–1,697(x–1,145)–5,001(x–1,145)2–3,027(x–1,145)3+о((x–1,145)3).
| На главную сайта Dvoika.net |