ЗАДАНИЕ 23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы
Тейлора: f(x)= 
ln2x, x0 =1.
РЕШЕНИЕ. Применяем формулу Тейлора см. задание 22.
f(1) = 1; f ¢(
x) = 2(x1) 2
lnx ×
, f ¢(1)
= 0;
f ¢¢( x) = 2+
4(x 1)2+
(lnx1), f ¢¢(1) = 0;
f ¢¢¢(
x) = 12(x 1)
+ 8(x
1)3 
(lnx1)
+
, f ¢¢¢(1) = 6.
f(x)= 1 + ( x 1)3 +о((x1)3).
Укажем ещё один путь к получению той
же формулы: путь, использующий стандартные формулы Маклорена для основных элементарных
функций. Выполним замену переменной: x 1= t. Тогда функция f(x) = ln2x преобразуется в функцию g(t) =
ln2(1+t), а значению
x = 1 будет соответствовать значение t = 0. Нам понадобятся формулы
=
1+ t + 
+ o(t2) ; ln(1+t) = t
+ o(t2).
В первую из этих формул сделаем подстановку t2 вместо t, а вторую формулу возведём в квадрат:
=
1+ t2+ 
+ o(t4), ln2(1+t) = (t
+ o(t2))( t
+ o(t2)) = t2 t3 + o(t3).
Отсюда g(t) = ln2(1+t) = 1+ t3 + o(t3) и f(x)= 1 + ( x
1)3 +о((x1)3).
Использовались свойства о-малых: любая o(t4) является
также o(t3), а для любой o(t2) произведение t×o(t2) является o(t3) и т. д.
Ответ. Функция ведёт себя в окрестности точки как кубическая, возрастает; её поведение схематически изображено на рис.35.
Рис. 35
ЗАДАНИЕ 24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора:
.
РЕШЕНИЕ. Имеет место неопределённость
(0/0). Выполним замену переменной x + 2 = t с целью использовать стандартные формулы
Маклорена. Предел при этом преобразуется к виду: 
.
Нам понадобятся формулы
=
1+ t + + 
+ o(t3) ; ln(1+t) = t +
+ o(t3).
Первая из этих формул нужна также с выполненной в ней подстановкой t вместо t, вторая — с подстановкой 2t вместо t:
= 1
t + +
o(t3); ln(1+2t) = 2t + 
+ 
+ o(t3).
Формулы выписываем с остаточным членом o(t3); этого достаточно, так как в условии в знаменателе дроби стоит t3.
= 
= 
= –2 
=¥
áчислитель заменили его главной частьюñ.
Ответ.
= ¥.
| На главную сайта Dvoika.net |