ЗАДАНИЕ 25. Найти асимптоты и построить эскизы графиков функций:
а)
y=ln
+2; б) y=
; в) y=
.
ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. Вспомним определение асимптоты
при x® ¥:
это прямая y=kx+b, для которой 
(f(x) (kx + b)) = 0. Числа k и b можно найти
по формулам k =
; b =(f(x) kx). Асимптота горизонтальна k=0
тогда и только тогда, когда существует конечный предел f(x), это и будет число b. Аналогично
определяется асимптота при x®¥. Прямая x = a называется вертикальной
асимптотой, если f(x) является бесконечно большой при x® a, то есть если 
f(x) =¥, и
односторонней вертикальной асимптотой, если 
f(x) =¥ или
f(x) =¥.
РЕШЕНИЯ.
а) y=ln+2. Область определения функции: x¥,1)(3,+¥). Функция является элементарной составлена из основных
элементарных функций с помощью конечного числа арифметических действий и подстановок
одной функции в другую. Отсюда следует, что функция непрерывна в каждой
точке области определения.
Исследуем поведение функции при x®10 и при x®3+0 то есть в полуокрестностях граничных точек области определения:
ln+ 2 = 
ln t + 2 = ¥
новая переменная t=
положительна и стремится к 0 при x®10.
ln+ 2=
ln t + 2 = +¥.
В обоих случаях при стремлении x к конечному значению y является бесконечно большой, откуда следует, что прямые x=1 и x=3 односторонние вертикальные асимптоты.
Исследуем поведение функции при x®±¥:
ln+ 2 = ln+ 2 = ln 1 + 2 = 2;
предел при x® ¥ такой же. Следовательно, в обоих случаях прямая y=2 является горизонтальной асимптотой.
Ответ. Эскиз графика изображён на рис.36.
б) y=. Область определения функции: x¥,
) (,) (,+¥). Функция
непрерывна в каждой точке области определения. При x®± по правилу вычисления предела дроби
будем иметь: 
=¥,
так как A 0. Отсюда следует, что прямые x= являются вертикальными асимптотами.
Знак перед символом ¥ определяется
знаком заданной дроби вблизи точек ±слева и справа. Метод интервалов применить
не удаётся, так как корни числителя найти трудно. Поступим по - другому. Числитель
в точке x= равен 3+1 > 0 и сохраняет знак в некоторой окрестности точки,
так как является непрерывной функцией. Знаменатель отрицателен слева от точки
x= и положителен справа. Итак,
y(x)
= ¥, 
y(x) = +¥.
Числитель в точке x = равен 3+1 < 0 и сохраняет знак в некоторой окрестности точки.
Знаменатель положителен слева от точки x= и отрицателен справа. Итак,
y(x)
= +¥, y(x) = ¥.
Перейдём к изучению поведения функции при x® ¥.
Разница в показателях степеней многочленов в числителе и в знаменателе равна 1,
что говорит о наличии асимптот при x®
+¥ и при x®
¥. В этой задаче найти асимптоты
легче всего делением многочлена на многочлен, нахождением целой части. Выполнив
деление, получим: = x + 1 +
. Прямая y = x + 1 и будет асимптотой, что следует прямо
из определения асимптоты:
(f(x)
(x + 1)) == 0, причём это справедливо как при
x® +¥, так и при x® ¥. Конечно,
можно было найти асимптоту y=kx+b и с помощью вычислений:
k=
=
=1;
b=( x) =
=1.
Ответ. Эскиз графика изображён на рис.37.
в)
y=. Область определения функции: x
, 2) (2,
2) (2,+¥ ). Всюду в области
определения функция непрерывна как элементарная заметим, что ½x½=
,то есть элементарная функция. Заметим,
что функция чётная и рассмотрим её при x >0, здесь знак модуля можно убрать,
так как при x >0 ½x½= x. Так, при x >0
y=
=
= (x+2
) = x 2 + .
Найдена наклонная асимптота при x® +¥ : y = x 2.
Прямая x = 2 является вертикальной асимптотой. График функции симметричен относительно оси y; y(0) = 7.
Ответ. Эскиз графика изображён на рис.38.
Рис.36 Рис.37 Рис.38
| На главную сайта Dvoika.net |