б) y = (x 1)
. Область определения: x¥ ,1) (1,+¥ ). Чётность, нечётность, периодичность
отсутствуют. Функция непрерывна всюду, кроме точки x = 1. Для выяснения
поведения функции в окрестности точки разрыва вычислим односторонние пределы:
= ¥, 
= +¥ ;
(x
1)= 2e- ¥ = 20 = 0,
(x
1)= 2e+ ¥
= 2+
) = ¥.
Делаем вывод о наличии односторонней вертикальной асимптоты x = 1. Переходим к изучению поведения функции при x® ¥.
(x
1) = ¥e0 = ¥ ¥.
Ищем наклонные асимптоты:
k
=
= 
= 
×= 1e0 = 1;
предел при x® ¥ такой же.
b =(f(x) kx) = ((x 1) x) = (x (
1) ) =
=(x) = 11=0,
такой же предел получается и при x® ¥. Следовательно, прямая y = x является асимптотой как при x ® +¥, так и при x® ¥.
Вычисляем y¢(x):
y¢
= + (x1)(
) =(1
) =
,
видим, что y¢(x) всегда положительна, следовательно, функция возрастает на каждом из интервалов ¥ ,1) и (1,+¥ ), составляющих область определения.
Вычисляем y¢¢(x):
y¢¢(x)
= ((1))¢
= 
;
знак второй производной меняется
только в точке x = 
.
Делаем вспомогательные рисунки (рис.43), вычисляем значение
y(5/3)
= 8/(3e
) и строим график. Ответ: график изображён на рис.44;
экстремумов нет, точка перегиба графика (5/3, 8/(3e)).
Рис.43 Рис.44
в) y =
. Область определения: x(0, 1) (1,+¥
). Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют. В точках области определения
функция непрерывна. Исследуем поведение функции у границы области определения:
=
=0. Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва:
= +¥, так как функция ln x при x >1 положительна;
= ¥. Вывод: прямая x = 1 вертикальная
асимптота. Переходим к изучению поведения функции при x® +¥.
=
= 0; отсюда следует, что функция имеет горизонтальную
асимптоту y = 0.
Вычислим производные: y¢ = 
, она всегда отрицательна;
y¢¢(x)
=
. Знак второй производной меняется
при перемене знака множителя (2 + ln x), что происходит в точке x = e 2,
и при перемене знака множителя ln3 x, что происходит в точке x = 1. Делаем вспомогательные
рисункирис.45, вычисляем значение y(e 2) = 1/2
и строим график.
Ответ. График изображён на рис.46; экстремумов нет, точка перегиба графика (e 2, 1/2).
Рис.45 Рис.46
| На главную сайта Dvoika.net |