Предел последовательности
Задания для подготовки к практическому занятию
Прочитайте предложенные рассуждения и примеры. Ответьте письменно на вопросы и решите задачи.
Напомним для начала, что
числовая последовательность — это бесконечный упорядоченный набор чисел. Члены
последовательности можно пронумеровать, так что каждому натуральному значению
n (1,2,3,…) соответствует член последовательности (а1, а2, а3,…). Таким образом,
последовательность — это функция, заданная на множестве натуральных чисел. Задают
последовательность чаще всего формулой общего члена. Например, если 
, то первые члены этой последовательности:
Понятие предела последовательности поясним пока на простых примерах:
- Последовательность натуральных чисел 1,2,3,4,5,… неограниченно возрастает или стремится к плюс бесконечности: n®+¥. Поскольку n — натуральные числа и не могут быть отрицательными, знак «+» обычно опускают, подразумевая его «по умолчанию», и пишут n®¥.
- Последовательность
: 
стремится к 0 при n®¥. Действительно,
при очень больших значениях n значения 
становятся очень
маленькими, так что, хотя члены этой последовательности не становятся равны 0, но отграничить их от 0 невозможно: начиная с некоторого номера все члены этой последовательности оказываются ближе к 0, чем любое заранее выбранное число e. Это легко понять, например если изобразить члены последовательности точками на числовой прямой.
Пишут: 
(предел при n®¥ равен 0) или иногда 
.
- Сходным образом 
и т.п. Вообще, если числитель дроби постоянен, а знаменатель
неограниченно взрастает, то вся дробь стремится к 0.
При вычислении пределов последовательностей пользуются простыми их свойствами:
предел суммы равен сумме пределов (если последние существуют и конечны);
предел произведения равен произведению пределов (если последние существуют и конечны);
предел отношения равен отношению пределов (если последние существуют и конечны и предел знаменателя не равен 0).
Примеры.
1. Вычислить 
.
Решение: При n®¥ и числитель и знаменатель дроби стремятся
к бесконечности. Говорят, что имеет место неопределенность вида 
.
Из трех слагаемых числителя быстрее всего возрастает слагаемое старшей степени, т.е. 3n2. Вынесем за скобки n2:
Аналогичным образом преобразуем знаменатель:
.
В целом получаем:
Заметим,
что слагаемые 
при n®¥ стремятся к 0 и, таким образом, после
сокращения дроби на n2, имеем:
.
2.
Вычислить 
.
Решение: Имеется неопределенность вида . Преобразуем дробь, вынеся за скобки старшую
степень n в числителе и знаменателе:
.
3.
Вычислить 
.
Решение: Имеется неопределенность вида . Преобразуем дробь:
4.
Вычислить 
.
Решение: Имеется неопределенность вида . Преобразуем дробь, вынеся старшую степень из
каждого множителя:
| На главную сайта Dvoika.net |