Сложение матриц
Операция сложения определена лишь для
матриц одинакового размера. Именно, пусть 
,
Суммой
матриц 
и 
называется матрица
(1.2)
О сложении матриц говорят также, что оно осуществляется поэлементно.
Как уже отмечалось выше, в процессе изучения алгебры матриц мы будем пользоваться
упрощенными обозначениями 
и т.д., не указывая всякий раз множества возможных значений
индексов 
и 
, поскольку эти значения будут ясны из контекста. Например,
следующее определение суммы матриц эквивалентно вышеприведенному определению.
Пусть
и – действительные матрицы одного порядка, тогда
(1.3)
Знак 
читается “равно по определению”, а отсутствие дополнительных
указаний на возможные значения индексов и объясняется тем, что все матрицы, входящие в равенство
(1.3), имеют одинаковый размер 
при некоторых натуральных значениях 
и 
и, следовательно, 
.
Операция сложения матриц обладает рядом свойств, роднящих её с операцией сложения действительных чисел.
1)
Операция сложения матриц коммутативна, т.е. для любых и из 
◄ Пусть . Тогда
.
Здесь на первом и пятом шагах мы воспользовались обозначением суммы матриц, на втором и четвертом — определением суммы, а на третьем шаге — принципом равенства матриц. ►
2) Операция сложения матриц ассоциативна, т.е. для любых 
и 
из
.
3) Среди всех матриц множества
существует единственная матрица 
, обладающая свойством
(1.4)
для любой матрицы из .
◄ Рассмотрим матрицу порядка , все элементы которой равны 0. Ясно,
что 
.
для
любой матрицы 
из 
. Тем самым показано существование матрицы , обладающей нужным свойством. Для
доказательства её единственности покажем, что любая матрица 
из , удовлетворяющая равенству (1.4) для любых
из , совпадает с матрицей . Действительно, если матрица
такая, как сказано выше, то одновременно выполняются равенства
и 
.
Используя свойство
коммутативности сложения матриц, получаем, что 
.
►
| На главную сайта Dvoika.net |