Скалярное умножение арифметических векторов
1.7 Умножение матриц
1.6 Скалярное умножение арифметических векторов
Пусть
два арифметических вектора
порядка 
. Скалярным произведением этих векторов называется действительное
число, которое обозначается 
и находится по правилу
(1.7)
В дальнейшем будем также считать, что скалярное произведение двух
векторов-строк порядка также вводится по формуле (1.7), т.е.
.
Рассмотрим основные свойства скалярного умножения арифметических векторов.
1) Скалярное
произведение симметрично, т.е.
для любых 
и 
из 
.
◄ Действительно,
ввиду
коммутативности операций умножения в 
. ►
2) Скалярное произведение аддитивно по каждому из сомножителей, т.е.
для
любых 
из .
◄ Ввиду предыдущего свойства в доказательстве нуждается лишь одно из приведенных равенств. Покажем, например, справедливость первого равенства, где
Действительно,
.
►
3) Скалярное произведение однородно по каждому из сомножителей, т.е.
для любых
действительных чисел 
и любых векторов и из . 
Арифметический вектор является линейной комбинацией векторов 
, если найдутся такие действительные
числа 
, что
.
(1.8)
Из свойств 2) и 3) скалярного произведения следует, что если вектор
имеет вид (1.8), тогда
для
любых векторов 
из и любых действительных чисел . Это свойство называется свойством
линейности скалярного произведения по первому сомножителю. Аналогично имеет место
свойство линейности скалярного произведения по второму сомножителю. В частности,
если наряду с равенством (1.8) справедливо равенство
,
где 
, тогда
.
4)
Скалярное произведение 
вектора на себя называется скалярным квадратом вектора. Скалярный
квадрат любого арифметического вектора есть число неотрицательное, т.е. 
.
Причём равенство 
выполняется
лишь для 
.
| На главную сайта Dvoika.net |