Рассмотрим основные свойства умножения матриц.
1) Если
, тогда 
.
◄ Это свойство вытекает из определения произведения матриц. ►
2) Умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно,
т.е. 
.
◄ Прежде всего заметим,
что произведение 
и 
не всегда существуют одновременно, как это
видно из примера 2. Если и существуют одновременно, т.е. 
, тогда 
, 
, т.е. при 
матрицы и разного порядка и, следовательно, несравнимы. Но даже
если 
и, следовательно, и одного порядка, равенство 
, вообще говоря, не выполняется. Например,
. ►
В то
же время существуют матрицы 
и 
для которых . Такие матрицы называются перестановочными. Например,
матрицы
перестановочны, т.к.
.
Более того,
существуют квадратные матрицы порядка 
,
которые перестановочны со всеми матрицами из 
.
Примером такой матрицы во множестве 
является матрица
,
в чем предлагаем читателю убедиться самостоятельно.
3) Умножение матриц ассоциативно, т.е.
. (1.9)
Равенство (1.9) следует понимать так: если его левая (или правая) часть существует, тогда существует и правая (левая) часть и обе они совпадают.
Доказательство
этого свойства содержится в учебнике [1], §13. 
4) Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения, т.е.
, 
◄ Пусть 
. Тогда
.
►
5) Произведение матриц однородно по каждому из сомножителей, т.е.
,
где 
.
◄ Например,
.
Равенство
доказывается аналогично. ►
| На главную сайта Dvoika.net |