Теория делимости квадратных матриц
1.9* Основные типы алгебраических структур
1.10 Элементарные преобразования над матрицами
и элементарные матрицы
1.8 Теория делимости квадратных матриц
Выше мы убедились, что арифметические операции над матрицами, прежде всего в части умножения, отличаются по своим свойствам от аналогичных операций над числами. Однако наиболее существенные отличия связаны с операцией деления.
Любое
отличное от 0 действительное число 
имеет обратное число 
, т.е.
,
(1.11)
и поэтому любое действительное число 
можно разделить на любое ненулевое число
Теорию делимости для матриц будем строить, исходя из соотношений (1.11).
Матрица
называется обратимой, если существует такая матрица 
,
что
. (1.12)
Если
матрица обратима матрица называется её обратной матрицей и обозначается 
.
Из равенства (1.12) следует, что все входящие в них матрицы квадратные и имеют
одинаковый порядок 
. В связи с
этим будем считать, что все матрицы, рассматриваемые в данном пункте, принадлежат
множеству 
, а единичную матрицу 
будем обозначать для простоты 
. Множество всех квадратных обратимых
действительных матриц порядка в дальнейшем будем обозначать через 
.
Свойства обратимых матриц.
1) Если 
, её обратная матрица 
единственна.
◄ Действительно, допустим, что наряду с равенствами (1.12) выполняются равенства
.
(1.13)
где 
. Умножая обе части равенства 
на матрицу 
слева, по свойству ассоциативности
умножения матриц получаем, что
.
С другой стороны,
, т.е.
. ►
2) Если , тогда 
, и 
.
◄ Справедливость этого свойства вытекает из равенств (1.12). ►
3) Если , тогда 
, и
.
(1.14)
◄ Действительно, применяя операцию транспонирования к равенствам
(1.12) и учитывая при этом, что 
, получаем, что
или
.
| На главную сайта Dvoika.net |