Последнее равенство означает, что матрица 
обратима, и её обратная матрица имеет вид 
,
т.е. выполнено равенство (1.14). ►
4) Если 
и 
, тогда матрица 
обратима и
.
(1.15)
◄ Действительно, используя свойство 5) умножения матриц, получаем, что
,
.
Откуда
следует обратимость матрицы и равенство (1.15).
5) Если 
, тогда 
и
(1.16)
◄ Докажем, например, обратимость матрицы 
,
Откуда
следует обратимость матрицы и первое равенство (1.16). Обратимость матрицы 
и второе равенство (1.16) доказывается аналогично. ►
6) Если 
, то во множестве 
всегда существует необратимые матрицы.
◄ Примером такой матрицы является матрица
.
Действительно,
равенство 
не может выполняться ни для какой матрицы 
из , так как в произведении последняя строка всегда нулевая и
поэтому
.►
Следующее утверждение по существу описывает все необратимые матрицы в .
Предложение 1.1. Если матрица 
является истинным делителем нуля, тогда она
необратима.
◄ Пусть матрица 
и существует такая матрица , 
, что 
или 
. Тогда матрица не может быть обратимой. Действительно, если предположить
существование такой матрицы 
, что
,
тогда
умножая обе части равенства 
на матрицу справа (или обе части равенства 
на матрицу слева), получаем, что
€
и аналогично в случае . ►
Справедливо и обратное утверждение.
Предложение
1.2. Если матрица отлична от нуль-матрицы и не является истинным делителем
нуля, тогда она обратима.
Доказательство этого утверждения будет приведено позже в «Лекции V».
| На главную сайта Dvoika.net |