Основные типы алгебраических структур.
Пусть 
и 
два произвольных непустых множества. Декартовым произведением
этих множеств называется множество
всевозможных упорядоченных пар вида 
, где 
. При этом две пары и 
, где 
, считаются равными, если 
. Если 
, тогда множество 
называется декартовым квадратом множества .
Пусть 
. Внутренним законом композиции на множестве 
называется произвольное отображение декартова квадрата 
во множество . Внутренний закон композиции на множестве каждой паре 
элементов множества ставит в соответствие определенный
элемент множества , который принято обозначать в виде сочетания трёх символов:
элементов 
и некоторого знака их соединяющего и одновременно позволяющего
отличать друг от друга различные законы композиции, например,
,
и т.д.
Простейшими примерами внутренних законов композиции на множестве
являются арифметические операции сложения, вычитания
и умножения действительных чисел, которые паре действительных чисел 
ставят в соответствие их сумму, разность
и произведение,
.
Введенное выше поэлементное сложение матриц является внутренним законом композиции
на множестве 
, а умножение матриц — внутренним законом композиции на
множестве 
.
Пусть 
. Внешним законом композиции на множестве над множеством называется произвольное отображение
множества 
во множество .
Примером внешнего закона композиции на множестве
матриц над множеством действительных чисел
является операция умножения матрицы
на число,
.
Задание на некотором множестве одного или нескольких законов композиции, внутренних или (и) внешних, обладающих некоторыми стандартными свойствами, определяет на этом множестве различные алгебраические структуры (группы, поля, кольца, линейного пространства, алгебры и т.д.).
Если внутренний закон композиции на множестве
, записываемый как умножение, обладает
свойствами:
1) 
(ассоциативность)
для любых 
из ;
2) в существует такой элемент 
, что
(существование единицы)
для каждого 
из ;
3) для каждого элемента из найдется такой элемент 
, что
(обратимость)
тогда говорят, что закон композиции определяет на структуру группы. Элемент
называется при этом единицей группы, а элемент 
из 3) — обратным к элементом и обозначается 
.
Если наряду со свойствами 1) — 3) выполняется свойство
4) 
(коммутативность)
для любых 
из , такая группа называется абелевой. Свойства 1) — 3) называются
аксиомами группы, а свойства 1) — 4) аксиомами абелевой группы. В абелевой группе
закон композиции записывается обычно как сложение, в связи с чем её аксиомы принимают
вид
1’) 
;
2’) в существует элемент 
такой, что
;
3’) для любого из найдется элемент 
, такой, что
;
4’) 
.
| На главную сайта Dvoika.net |