Элемент 
называется нулем абелевой группы, а элемент 
из аксиомы 3’) — противоположным к элементу 
и обозначается 
.
Пример 3. а) Множество 
является мультипликативной группой, т.е. операция умножения
матриц определяет на этом множестве структуру группы.
◄ Действительно,
из свойства 5) обратимых матриц следует, что умножение матриц является внутренним
законом композиции на множестве .
Аксиома группы 1) является следствием свойства 3) умножения матриц. Единичная
матрица, очевидно, обратима, так как 
, откуда следует аксиома группы 2), 
. Аксиома группы 3) является следствием
свойства 2) обратимых матриц. ►
б) Множество 
является аддитивной абелевой группой, т.е. операция сложения
матриц определяет на этом множестве структуру абелевой группы.
◄
Очевидно, что определенное выше поэлементное сложение матриц является внутренним
законом композиции на множестве 
,
а аксиомы абелевой группы являются следствием свойств 1) — 4) сложения матриц.
►
Если на множестве 
определены два внутренних закона композиции, которые
записываются как сложение и умножение и обладают свойствами:
1) сложение
определяет на структуру абелевой группы;
2) 
;
3) 
для любых 
из ,
тогда говорят, что на множестве задана структура кольца. Если при этом по умножению существует
единица, это кольцо называется кольцом с единицей, а если операция умножения коммутативна,
кольцо называется коммутативным.
Пример 4. а) Операции сложения и умножения
чисел задают на множестве 
структуру
коммутативного кольца с единицей.
б) Операции сложения и умножения матриц
задают на множестве 
, 
, структуру некоммутативного кольца
с единицей. 
Коммутативное кольцо с единицей,
в котором все отличные от нуля элементы обратимы, называется полем. Важнейшими
примерами полей являются поле рациональных чисел 
и поле действительных чисел 
.
Пусть задано непустое множество , элементы которого мы будем называть векторами,
и поле 
с единицей 1. Если на
множестве определены внутренний закон композиции, записываемый
как сложение векторов,
,
и
внешний закон композиции над полем 
, записываемый как умножение вектора на скаляр,
,
и эти законы обладают свойствами:
1) сложение векторов определяет на структуру абелевой группы;
2) 
,
3) 
,
4) 
,
5) 
,
тогда говорят, что на множестве задана структура линейного пространства над полем .
| На главную сайта Dvoika.net |