Пример 5. Операции сложения матриц и умножения матрицы на число
задают на множестве 
структуру линейного пространства над полем 
или кратко структуру действительного линейного пространства. 
Непустое множество 
, на котором заданы два внутренних закона композиции (записываемых
как сложение и умножение) и один внешний закон композиции над полем 
(записываемый как умножение на число), называется алгеброй над полем , если:
1) сложение и умножение задают на структуру кольца,
2) сложение и умножение
на число задают на структуру линейного пространства над
полем ,
3) 
.
Если умножение коммутативно, алгебра называется коммутативной, если умножение обладает единицей, алгебра называется алгеброй с единицей.
Пример 6. Из лекций I и II следует, что введённые там операции
сложения и умножения матриц с операцией умножения матрицы на число задают на множестве
при 
структуру некоммутативной алгебры с единицей.
1.10 Элементарные преобразования над матрицами и элементарные матрицы
Элементарные преобразования над матрицами бывают только трёх типов:
1) перемена местами двух строк или столбцов;
обозначения — 
или 
соответственно;
2) умножение
строки или столбца на число, отличное от нуля; обозначения — 
или 
соответственно, 
;
3) добавление к какой-либо строке или столбцу
другой строки или столбца, умноженных на произвольное число 
; обозначения — 
или 
соответственно (элементарное преобразование этого типа
называется трансвекцией).
В результате применения к матрице 
элементарного преобразования первого типа её строки 
и 
(или столбцы 
и 
) поменяются местами; во втором случае строка
(или столбец )
будет заменена на строку 
(или
столбец 
); в последнем случае
строка (или столбец ) будет заменена на строку 
(или столбец 
), а строка (столбец ) остается неизменной.
| На главную сайта Dvoika.net |