Свойства элементарных преобразований.
1) Одно элементарное преобразование первого типа эквивалентно четырем элементарным преобразованиям второго и третьего типов.
◄ Пусть в матрице 
нужно поменять местами, например, строки 
и 
. Следующая цепочка элементарных преобразований
второго и третьего типов приводит к результату
.
2) Элементарные преобразования обратимы, а обратные им преобразования
являются элементарными преобразованиями того же самого типа, т.е. если матрица
получена из матрицы с помощью элементарного преобразования, тогда
матрица может быть получена из матрицы с помощью элементарного преобразования
того же самого типа.
◄ Используя для обозначения обратных элементарных преобразований символ ( )-1 непосредственной проверкой убеждаемся, что
,
,
. ►
3) Квадратная матрица называется элементарной, если она получена из единичной матрицы с помощью одного элементарного преобразования. Несмотря на то, что имеется шесть видов элементарных преобразований, три строчных и три столбцовых, видов элементарных матриц всего три, так как одна и та же элементарная матрица может быть получена как с помощью строчного так и с помощью столбцового элементарных преобразований.
◄ Действительно, элементарные преобразования
и 
порождают одну и ту же элементарную
матрицу
(1.17)
Элементарные
преобразования 
и 
порождают одну и ту же элементарную матрицу
(1.18)
Наконец,
элементарные преобразования 
и 
порождают одну и туже элементарную матрицу
►
(1.19)
4) элементарные матрицы обратимы, обратные им матрицы элементарны и порождаются элементарными преобразованиями, обратными исходным элементарным преобразованиям.
◄ Предлагаем читателю самостоятельно убедиться в том, что матрица вида (1.17) обратна самой себе, а матрицы
являются соответственно обратными матрицами матриц вида (1.18) и (1.19). ►
5) Пусть 
. Проведение в матрице одного строчного (столбцового) элементарного
преобразования равносильно умножению этой матрицы слева (справа) на элементарную
матрицу порядка 
(порядка 
), отвечающую этому элементарному преобразованию.
◄ Ввиду свойства 1) элементарных преобразований в проверке нуждаются лишь
элементарные преобразования второго и третьего типов. Предлагаем читателю показать
самостоятельно, что умножение матрицы
вида (1.1) на матрицы вида (1.18) и (1.19) слева равносильно проведению в матрице
элементарных преобразований соответственно
и , а умножение на матрицы указанного вида справа равносильно
проведению в ней элементарных преобразований соответственно и 
. ►
| На главную сайта Dvoika.net |