Эквивалентные матрицы
1.12* Отношение эквивалентности
1.11 Эквивалентные матрицы
Нашей ближайшей целью является доказательство того, что любая матрица с помощью элементарных преобразований может быть приведена к некоторым стандартным видам. На этом пути полезным является язык эквивалентных матриц.
Пусть 
. Будем говорить, что матрица 
л‑эквивалентна (п‑эквивалентна
или эквивалентна) матрице 
и обозначать 
(
или 
), если матрица может быть получена из матрицы с помощью конечного числа строчных
(соответственно столбцовых или строчных и столбцовых) элементарных преобразований.
Ясно, что л‑эквивалентные и п‑эквивалентные матрицы являются эквивалентными.
Вначале мы покажем, что любая матрица только лишь строчными преобразованиями может быть приведена к специальному виду, называемому приведённым. Формы представления комплексных чисел.
Пусть 
. Говорят, что ненулевая строка 
этой матрицы имеет приведённый вид,
если в ней найдется такой равный 1 элемент 
, что все элементы столбца 
, отличные от 
, равны нулю, 
. Отмеченный единичный элемент строки будем называть ведущим элементом этой строки
и заключать его в кружок. Иными словами, строка матрицы имеет приведенный вид, если в этой матрице найдется столбец
вида
.
Например, в следующей матрице
строка
имеет приведенный вид, так как 
. Обратим внимание на то, что в этом
примере на роль ведущего элемента строки претендует также элемент 
. В дальнейшем, если в строке приведённого
вида есть несколько элементов, обладающих свойствами ведущего, будем выделять
лишь один из них произвольным образом.
Говорят, что матрица имеет приведённый вид, если каждая её ненулевая строка имеет приведённый вид. Например, матрица
имеет приведённый вид.
| На главную сайта Dvoika.net |