Предложение 1.3 Для любой матрицы 
существует л‑эквивалентная ей матрица приведённого
вида.
◄ Во-первых, любую ненулевую строку матрицы ,
с помощью строчных элементарных преобразований можно сделать приведённой, т.е.
если 
, тогда найдется конечное число строчных
элементарных преобразований, применив которые к матрице ,
мы получим матрицу 
, строка которой
имеет приведённый вид.
Действительно, если матрица имеет вид (1.1) и 
, то после проведения в ней элементарных преобразований
(1.20)
- Получаем матрицу
,
у
которой строка имеет приведённый вид.
Во-вторых, если строка
, в матрице была приведённой, то после проведения элементарных преобразований
(1.20) строка 
матрицы будет приведённой. Действительно, так как 
, приведённая, найдётся такой столбец
, что
.
но
тогда 
и, следовательно, после проведения преобразований (1.20)
столбец 
не меняется, т.е. 
. Поэтому строка , имеет приведённый вид.
Теперь ясно, что поочерёдно
преобразуя указанным выше способом каждую ненулевую строку матрицы , после конечного числа шагов мы получим матрицу
приведённого вида. Так как для получения матрицы использовались только строчные элементарные преобразования,
то она л‑эквивалентна матрице . ►
| На главную сайта Dvoika.net |