Разложение матрицы в произведение простейших
1.14 Матричные уравнения
1.13 Разложение матрицы в произведение простейших
Пусть
– некоторые матрицы. Введём следующее обозначение, предполагая
при этом, что произведение в правой части существует,
.
Предложение
1.5. Любую ненулевую матрицу из 
можно представить в виде произведения
,
(1.22)
где 
, — элементарные матрицы порядка 
, — элементарные матрицы порядка 
,
и матрица 
имеет вид (1.21).
◄ В силу предложения 1.4 существует конечное число строчных и столбцовых
элементарных преобразований, приводящих матрицу 
к виду . Так как проведение одного строчного
элементарного преобразования в матрице равносильно умножению этой матрицы слева на
некоторую элементарную 
матрицу порядка 
, а проведение в одного столбцового элементарного преобразования равносильно
умножению матрицы справа на некоторую элементарную матрицу 
порядка , получаем матричное равенство
.
(1.23)
Матрицы 
обратимы, а обратные им матрицы являются элементарными
матрицами того же порядка. Поэтому, вводя обозначения
,
,
и
умножая обе части равенства (1.23) в соответствующем порядке на матрицы 
слева и на матрицы 
справа, получаем
,
т.е. равенство (1.22). ►
Пример 8. разложить матрицу
в произведение простейших.
◄ Элементарными преобразованиями приводим
матрицу 
к виду 
,
.
Проводим
эквивалентную цепочку элементарных преобразований, умножая матрицу
слева на элементарную матрицу порядка 2, отвечающую элементарному преобразованию
, и умножая её справа на элементарные
матрицы порядка 3, отвечающие элементарным преобразованиям 
, 
, 
, 
. В результате получаем, что
.
Определяя обратные элементарные матрицы (см. свойство 4 элементарных преобразований) и умножая на них в соответствующем порядке последнее равенство, получаем, что
.
►
Следствием предложения 1.5 является критерий обратимости квадратной матрицы.
| На главную сайта Dvoika.net |