Предложение 1.6. (1-й критерий обратимости матрицы). Для того,
чтобы матрица 
была обратимой, необходимо и достаточно, чтобы она была
представима в виде произведения элементарных матриц.
◄ Достаточность. Элементарные матрицы обратимы, а произведение обратимых матриц есть матрица обратимая. Поэтому утверждение “матрица, представимая в виде произведения элементарных матриц, обратима” очевидно.
Необходимость. Пусть матрица обратима. Покажем, что она представима в виде
произведения элементарных матриц. Прежде всего заметим, что в силу предложения
1.5 справедливо равенство (1.22), где все матрицы, входящие в это равенство, квадратные
и имеют одинаковый порядок, например, 
. Наше утверждение будет верно, если
мы покажем, что 
. В самом деле, матрицы
обратимы
как произведение обратимых матриц. Поэтому обратимы матрицы 
и 
. Из равенства (1.22) получаем, что
матрица
и является
обратимой как произведение трёх обратимых матриц. Однако, матрица 
обратима в том и только том случае, когда 
. Действительно, 
и поэтому обратима. Если же 
, то матрица не может быть обратимой, так как последняя
строка матрицы в этом случае нулевая и поэтому последняя строка произведения
нулевая для любой матрицы 
,
т.е. равенство 
не может выполняться
ни для каких матриц . В результате получаем, что матрица в данном случае имеет вид
.
►
Пример 9. Выяснить, является ли следующая матрица обратимой
◄ Приводим матрицу к виду ,
,
т.е.
матрица обратима. Действуя дальше так же, как и в примере 6,
можно представить матрицу в виде произведения элементарных матриц, а после этого
найти обратную матрицу 
. Однако этот способ обращения матриц является слишком
громоздким. Ниже в Гл.2 мы разберём более простой алгоритм отыскания обратной
матрицы. ►
Вернёмся к предложению 1.2. Это предложение является
следствием предложений 1.5 и 1.6. В самом деле, нам нужно показать, что любая
ненулевая и необратимая матрица из 
, 
, является истинным делителем нуля.
◄ Пусть
и 
. В силу предложений 1.5 и 1.6 
, где 
. Введём матрицы
и
отметим, что 
. Так как 
, то
,
.
►
В заключение этого пункта предлагаем читателю самостоятельно доказать следующее усиление предложения 1.6.
| На главную сайта Dvoika.net |