Предложение 1.7. Пусть 
. Следующие утверждения равносильны:
1) 
;
2) 
, где 
– элементарная матрица порядка 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
. 
1.14 Матричные уравнения
Уравнение, называется матричным, если в качестве неизвестного оно содержит матрицу. Простейшие матричные уравнения имеют вид
,
(1.24)
, (1.25)
,
(1.26)
где 
– известные матрицы, а 
– неизвестные матрицы соответствующих размеров.
В общем случае уравнения (1.24)-(1.26) эквивалентны некоторым системам линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ), но в том частном случае, когда матрицы 
и 
обратимы, теория этих уравнений проста.
Прежде чем изложить её отметим, что числовая матрица 
является решением уравнения (1.24),
если при подстановке её в это уравнение вместо матрицы 
мы получаем верное матричное равенство
(и аналогично для уравнений (1.25) и (1.26)).
Предложение 1.8. Пусть матрицы
и обратимы, тогда уравнения (1.24)-(1.26) разрешимы при
любых правых частях 
соответственно, а их единственные решения определяются
по формулам
, (
)
,
(
)
,
(
)
◄ Так как уравнения
(1.25) и (1.26) являются частными случаями уравнения (1.24) (
в первом случае и 
во втором случае), доказательство проведём лишь для уравнения
(1.24). (Рассуждения в случае уравнений (1.25) и (1.26) предлагаем читателю провести
самостоятельно.)
Пусть 
,
, тогда по необходимости матрицы и 
имеют размер 
. Так как 
,
, то для любой матрицы из 
существует матрица вида (). Подставляя её в уравнение (1.24), получаем
,
т.е.
матрица вида () является решением уравнения (1.24). Тем самым показано,
что решение уравнения (1.24) существует.
Осталось показать его единственность.
В самом деле, пусть некоторое
решение уравнения (1.24), тогда справедливо матричное равенство
.
Умножая
обе части слева на матрицу 
, а справа на матрицу 
, получаем, что
или
.
т.е.
имеет вид (). ►
Два матричных уравнения будем называть равносильными, если они имеют одинаковые решения. В частности, если у одного из равносильных уравнений решений нет, то их нет и у второго уравнения. В последнем случае мы предполагаем, что неизвестные матрицы, входящие в оба уравнения, имеют одинаковые размеры.
Предложение 1.9. Пусть 
и 
. Тогда уравнения
,
(1.27)
(1.28)
равносильны
для любых матриц из .
◄ Действительно, если – решение уравнения (1.27), тогда 
.
Умножая обе части этого равенства слева на матрицу 
, получаем, что.
или 
,
т.е. является решением уравнения (1.28). Наоборот, если 
– решение уравнения (1.28), тогда
.
Но
матрица обратима. Умножая обе части последнего равенства слева
на матрицу 
, получаем, что
,
т.е.
– решение уравнения (1.27). Если же у одного из уравнений
(1.27) или (1.28) решений нет, тогда их нет и у второго уравнения, так как в противном
случае, повторяя проведённые выше рассуждения, приходим к противоречию. ►
| На главную сайта Dvoika.net |