Пример 7. Найти интеграл 
.
Решение. Разложим подынтегральную функцию на
сумму простейших дробей. Чтобы разложить знаменатель на сомножители нужно решить
квадратное уравнение 
. Его корнями
являются 
. Теперь знаменатель
может быть представлен следующим образом
.
Тогда наша дробь представима в виде суммы элементарных дробей:
.
Нужно найти неизвестные коэффициенты A,B,C. Для этого приведем дроби к общему знаменателю:
.
Так как дроби между собой равны, а также равны их знаменатели, то и числители также равны. Поэтому у многочленов, стоящих в числителе приравняем коэффициенты при х2,х1,х0 и получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:
.
Решив
эту систему получим следующие значения A, B и C: 
.
Значит, наша дробь раскладывается на сумму дробей:
.
Подставляя это разложение в интеграл, получаем:
Пример
8. Найти интеграл 
.
Решение. Для того, чтобы избавиться от иррациональности в подынтегральном выражении, нужно сделать следующую замену:
Тогда данный интеграл запишем в виде:
Подынтегральное
выражение представляет собой неправильную дробь, в которой нужно выделить целую
часть путем деления многочлен на многочлен: 
.
Возвращаясь к интегралу, получим:
| На главную сайта Dvoika.net |