Вычисление длины дуги кривой.
Пример 15. Вычислить длину
дуги кривой: 
, между точками пересечения с осями координат.
Решение. Данная кривая задана в параметрическом виде, то есть x и y зависят от параметра t. Поэтому, чтобы построить точку с координатами (x,y) нужно задать некоторое значение параметра и потом посчитать x и y .
Построим график и найдем точки пересечения с осями координат:
Длина
дуги вычисляется по формуле 
.
Для данной задачи 
.
Подставляя все эти значения в формулу, получаем :
Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле
Пример 16. Изменить порядок интегрирования
в двойном интеграле 
.
Решение.
Вычисление этого интеграла производится повторным интегрированием: сначала вычисляется
интеграл 
, а затем поолучившаяся функция интегрируется по переменной
х на отрезке [1;3].
Для изменения порядка интегрирования необходимо сначала начертить область интегрирования D, которая ограничена линиями х=1, х=3, y=-x, y= -x. Уравнения линий берутся в соответствии с пределами интегрирования. На рисунке область D – это трапеция ABFK. Координаты точек A,B,F,K находим, решая соответствующие системы уравнений. Таким образом получили A(1;1), B(3;3), F(3,-3), K(1;-1).
При изменении порядка интегрирования первое интегрирование теперь проводится по переменной y, а второе -–по переменной x. В этом случае при задании области D переменная y изменяется от –3 до 3, а переменная x от линии FKAB до линии FB. Если прямая FB задается одним уравнением х=3, то ломаная FKAB — тремя: х=1, y=-x, y= -x. Таким образом, область интегрирования D имеет смысл представить как объединение трех областей, каждая из которых задается своей системой неравенств:
FKE: 
KACE: 
ACB: 
.
Нашли, что исходный двойной интеграл после замены порядка интегрирования записывается в виде суммы трех двойных интегралов:
+ 
+ 
| На главную сайта Dvoika.net |