Применение тройных интегралов.
I. Масса неоднородного тела. Тройной интеграл.
Рассмотрим тело, занимающее пространственную область
(рис. 1), и предположим, что
плотность распределения массы в этом теле является непрерывной функцией координат
точек тела:
Единица измерения плотности - кг/м3.
|
|
Рис. 1.
Разобьем тело произвольным образом
на n частей; объемы этих частей обозначим 
Выберем затем в каждой части по произвольной точке
Полагая, что в, каждой частичной
области плотность постоянна и равна ее значению в точке 
,
мы получим приближенное выражение для массы всего тела в виде суммы
(*)
Предел
этой суммы при условии, что 
и каждое частичное тело стягивается в точку (т.
е. что его диаметр ) стремится к нулю), и даст массу М тела
Сумма
(*) называется n-й интегральной суммой, а ее предел - тройным интегралом от функции
по пространственной области .
К вычислению тройного интеграла, помимо определения массы тела, приводят и другие задачи. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать тройной интеграл
где
- произвольная непрерывная в области функция
Терминология для тройных интегралов совпадает с соответствующей терминологией для двойных интегралов. Точно так же формулируется и теорема существования тройного интеграла .
Свойства
двойных интегралов, полностью переносятся на тройные интегралы. Заметим только,
что если подынтегральная функция тождественно равна 1, то тройной
интеграл выражает объем V области :
Потому свойства V и VI надо теперь сформулировать следующим образом.
V 1. Если функция во всех точках области интегрирования удовлетворяет
неравенствам
то
где
V - объем области .
VI 1. Тройной интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке области интегрирования на объем области интегрирования, т. е.
II. Вычисление тройных интегралов.
Вычисление тройного интеграла 
может быть осуществлено посредством ряда последовательных
интегрировании. Мы ограничимся описанием соответствующих правил.
| На главную сайта Dvoika.net |