Сферические координаты.
Отнесём теперь область интегрирования
к системе сферических координат 
.
В этой системе координат положение точки M в пространстве определяется её расстоянием
r от начала координат (длина радиуса-вектора точки), углом 
между радиусом-вектором точки и осью Oz
и углом 
между проекцией радиуса вектора точки на плоскость
Oxy и осью Ox (рис. 6). При этом может изменятся то 0 до 
а - от 0 до 
.
|
|
Рис.6
Связь между сферическими и декартовыми координатами легко устанавливается. Из рис.6 имеем
Отсюда
(**)
Разобьем область на частичные области 
, тремя системами координатных поверхностей:
которыми будут
|
|
соответственно сферы с центром в начале координат, полуплоскости, проходящие,
через ось Оz, и конусы с вершиной в начале координат и с осями, совпадающими
с одной из полуосей Оz. Частичными областями служат «шестигранники» (рис.
7). Отбросив бесконечно малые высших порядков, будем рассматривать шестигранник
MN как прямоугольный параллелепипед с измерениями, равными: 
по
направлению полярного радиуса, 
по направлению меридиана, 
по направлению параллели. Для
элемента объема мы получим тогда выражение
Заменив в тройном
интеграле 
по формулам (**) и взяв элемент объема равным
полученному выражению, будем иметь
Особенно
удобно применение сферических координат в случае, когда область интегрирование
- шар с центром в начале координат или шаровое
кольцо. Например, в последнем случае, если радиус внутреннего шара 
, а внешнего 
, пределы интегрирования следует расставить
так:
Если - шар, то нужно положить 
A) Пример.
Вычислим объем шара радиуса R. В этом случае подынтегральную функцию надо взять равной 1, и мы получим
| На главную сайта Dvoika.net |