Объём цилиндрического тела.
Двойной интеграл.
Пусть в некоторой замкнутой области D плоскости хОу определена ограниченная функция z = f(x,у), причём f(x,y)>0. К определению двойного интеграла приходим, вычисляя объём фигуры, основание которой - область D; сверху фигура ограничена поверхностью, уравнение которой z=f(x,y) боковая поверхность - цилиндрическая, образованная прохождением прямой, параллельной оси Oz вдоль границы L области D. Такая фигура называется цилиндрическим телом (рисунок 1). Матрицы http://atomac.ru/dekard/urok90.htm Математика
Рисунок 1. Цилиндрическое тело
Объём цилиндрического тела можно вычислить приближённо, заменив его ступенчатой фигурой следующим образом.
1. Область D произвольным образом разбивается на конечное число п элементарных областей (ячеек) D1, D2,…, Dn, площади которых обозначим соответственно ΔS, ΔS2 ,…, ΔSn. Диаметром ячейки называют наибольшее расстояние между двумя точками на её границе и обозначают diamDi.
Выберем в каждой ячейке Di произвольную точку 
и вычислим в ней значение
. Составим сумму вида:
Каждое
слагаемое в сумме вычисляет объём прямого цилиндра с основанием Di и высотой .
Сумма (1) называется интегральной уммой для функции f(x,y) по области D. Предел интегральной суммы (1) при max diamDi→0 (n→∞) называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D:
В обозначении двойного интеграла D-область интегрирования f(x,y) - подынтегральная функция, dS-дифференциал площади, который можно заменить произведением дифференциалов независимых переменных dxdy.
Формула (2) позволяет вычислить объём цилиндри-ческого тела при f(x,y)>0, в чём и заключается геометрический смысл двойного интеграла.
В
общем случае, если функция f(x, у) непрерывна в замкнутой области D, то двойной
интеграл существует (существует предел интегральной суммы (2)) и не зависит от
способа разбиения области D на частичные и от выбора точек
в них.
| На главную сайта Dvoika.net |