Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
Область D называется правильной относительно оси Ох, если прямая, параллельная этой оси, проходящая через внутреннюю точку области D, пересекает границу области в двух точках. Аналогично определяется правильная область относительно оси Оу.
Рисунок 2. Рисунок 3.
Рисунок 2 - Область, правильная, относительно оси Оу Рисунок 3 - Область, правильная, относительно оси Ох
Область D, правильную относительно как Ох, так и Оу, называют просто правильной областью.
Если область D - правильная относительно Оу (рисунок 2), двойной интеграл вычисляется по формуле:
Правую часть формулы (8) называют повторным (двукратным) интегралом. Вычисление повторного интеграла начинаем с вычисления внутреннего интеграла.
в котором переменную х надо принять при интегрировании за постоянную величину. После подстановки пределов интегрирования в первообразную получаем некоторую функцию, зависящую от х, которую затем интегрируем на отрезке [a,b].
Если область D является правильной относительно оси Ох (рисунок 3), двойной интеграл вычисляется по формуле:
Если область D - просто правильная, можно применять как формулу (8), так и формулу (9). При этом переход от одной формулы к другой называют изменением порядка интегрирования.
Сам процесс перехода от двойного интеграла к повторному и расстановка пределов интегрирования для внешнего и внутреннего интегралов называют приведением двойного интеграла к повторному.
Правило расстановки пределов.
В пределах внутреннего интеграла (интеграла по первой переменной) в общем случае стоят функции второй переменной.
В пределах внешнего интеграла (по второй переменной) стоят постоянные числа. В результате вычисления двойного интеграла получается некоторое постоянное число.
Если область не является правильной ни относительно оси
Ох, ни относительно оси Оу, её разбивают на конечное число областей 
, правильных относительно одной из осей и при
вычислении применяют свойство 2.
| На главную сайта Dvoika.net |