Контрольная по математике Практикум по решению задач

Найти полное приращение и дифференциал функции в точке .

Ñ По формуле (5.1) =.

Дифференциал df есть главная часть полного приращения, линейная относительно : .#

6. Найти дифференциал функции .

Первый способ. По формуле (5.4): ,

.

Второй способ. Применяем правила дифференцирования (5.5):

+

. #

7. Найти дифференциалы 1-го, 2-го и 3-го порядков для функции .

Ñ По формуле (5.4): . По формуле (5.6) при m = 2 и m = 3, считая dx и dy постоянными, последовательно находим (смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования):

=

#

8. Найти , если , где .

Ñ По формуле (6.1) имеем . #

9. Найти производную функции .

Ñ Первый способ — применить логарифмическое дифференцирование, как делалось для функции одной переменной.

Второй способ. Функция u(t) есть результат образования сложной функции при подстановке в функцию вместо x и y двух одинаковых функций переменой t: . Тогда по формуле (6.1): + получаем = + .#

10. Найти и , если , где y = sin2x.

Ñ Имеем . По формуле (6.2) получим = .#

11. Найти , если , где , .

Ñ - сложная функция от независимых переменных x и y. Тогда по формулам (6.3) получим: ;

; ,

, ,

.#

12. Найти , если .

Ñ и по формуле (6.4) получаем =. В нашем случае x0 = 0. Непосредственной подстановкой убедимся, что точка принадлежит графику функции, т.е. . Поэтому .#

13. Найти , если .

ÑЛевую часть данного уравнения обозначим . По формуле (6.5) получим:, .#

14. Вычислить приближенно .

Ñ Искомое число будем рассматривать как значение функции при и , если . Точка выбрана из соображений близости ее к точке и простоты вычисления значений функции f и ее частных производных в точке М. По формуле (7.1) имеем .

Находим , . Следовательно, » . #