Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности 
в точке М(2,4,6).
Ñ
Обозначив через 
левую часть уравнения поверхности, найдем
По формуле (7.2) имеем уравнение касательной
плоскости 
или 
. По формулам (7.3) находим уравнения нормали в параметрической
форме 
, отсюда можно получить канонические
уравнения нормали 
. #
16. Исследовать на экстремум функцию
.
Ñ
Из необходимого условия экстремума функции (теорема 9.7) имеем систему 
решая которую получаем критические точки 
. Определим характер критических точек
по достаточным условиям экстремума. Находим 
. В точке 
: 
, 
, 
, 
Следовательно, - седловая точка. В точке : 
, 
, 
, поэтому - точка минимума функции z;
. #
17. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
в области D, заданной неравенствами 
.
Ñ
Область D ограничена частью параболы 
и отрезком прямой x = 4 (рис.9.3). 1) Находим критические
точки из необходимого условия экстремума функции: 
Решение системы: x =32,5, y = –13. Найденная критическая
точка 
не принадлежит D.
2) Исследуем функцию на границе.
а) На участке 
. Функция 
сводится к функции одной переменной
.Находим критические точки функции 
:
. На 
x = 4 и точки 
. б) На линии 
. Функция сводится к функции 
, 
. Находим критические точки функции 
: 
, 
, 
, 
, 
. На и получаем точки 
, 
.
3) Вершины ломаной в точках
и 
. 4) Вычисляем значения функции f в точках 
, 
, 
, 
. Итак, 
, 
.#
18. Функцию 
разложить по формуле Тейлора в окрестности точки(2,-1).
Ñ
Имеем 
. Вычислим последовательно частные производные данной функции:
,
.
Все последующие производные тождественно равны
нулю. Значения производных в точке (2,-1):
. По формуле (7.4) получаем искомое разложение
.#
19. Функцию 
разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1;1)
до членов второго порядка включительно.
Ñ
Имеем 
. В соответствии с формулой (7.4) вычислим производные
1-го и 2-го порядков данной функции и их значения в точке (1,1).
,
, 
; 
,
, 
. По формуле (7.4) имеем 
, где 
. #
