Записать в полярной системе координат область S , заданную в
декартовой системе координат неравенством 
(круг радиуса R с центром в точке 
).
Ñ
Перейдем от декартовых координат x, y к полярным 
по формулам 
, 
. Подставим x и y в исходное неравенство,
получим: 
или 
. На координату j дополнительных ограничений не накладывается,
поэтому 
(или 
).
В полярной системе
координат круг записывается неравенствами: 
. #
7. Записать в полярной системе координат область
S - часть круга, ограниченную линиями 
, 
, 
(
), 
— постоянные, 
.
Ñ
Изобразим область S (рис. 9). Запишем заданные линии в полярных координатах, которые
связаны с декартовыми формулами , : 1)Þ 
;
2) Þ
, 
;
3)Þ
Область 
переходит в область 
.
В полярной системе координат заданная область
определяется системой неравенств: 
. #
8. Вычислить двойной интеграл 
, S - множество точек, удовлетворяющих
неравенству 
.
Ñ
Границей области является линия 
или 
- окружность радиуса 2 с центром
в точке 
(рис. 10).
Наличие в уравнении границы комбинации
наводит на мысль, что для
вычисления двойного интеграла удобно перейти к полярным координатам по формулам , , 
. Уравнение границы 
переходит в уравнение 
или 
. Отсюда r=0
(соответствует полюсу O) и 
- уравнение окружности. Так как всегда 
(по смыслу r), то из следует 
, отсюда получаем 
(этот же результат можно усмотреть из рисунка). Итак,
в полярных координатах область интегрирования есть 
. Тогда по формуле
. #
9.
Вычислить 
, где 
.
Ñ
Область D ограничена линиями: 
– эллипс с полуосями a и b, 
– эллипс с полуосями 
и 
, y=0 — прямая (ось Ox), 
– прямая (рис. 11).
Анализ границы области указывает
на целесообразность перехода к эллиптическим полярным координатам по формулам:
, 
. Уравнения границы области в координатах будут: 1)
, 2) 
, 3) 
, 4) 
. Итак, область интегрирования
в координатах 
есть
. Тогда 
. #
Задания.
Записать символически правильную в направлении
Oy область 
, если ее проекция на плоскость Oxz, в свою очередь, есть
правильная область.
Записать символически правильную в направлении Ox область
, если ее проекция на плоскость Oyz есть правильная область.
10. Область V ограничена поверхностями 
и z=0. Изобразить область и записать как правильную: а)
в направлении Oz, б) в направ лении Ox.
Ñ
Область V — круговой конус с боковой поверхностью, описываемой уравнением конической
поверхности , основанием, лежащим на плоскости z=0, с вершиной в точке
M(0;0;2) и осью, совпадающей с Oz (рис. 12).Область V - правильная во всех направлениях
Ox, Oy, Oz. При z=0 из уравнения имеем 
- уравнение окружности радиуса
2; таким образом, в основании конуса круг. а) Рассмотрим область V как правильную
в направлении Oz. Из уравнения имеем 
. Для точек области V имеем:
. Проекция области V на плоскость Oxy есть 
(рис. 13), поэтому 
, где .Так как S — правильная область, то 
или 
. Поэтому требуемая запись будет 
или 
.
б) Рассматривая область V как правильную в направлении
Ox, из уравнения имеем 
. Линии пересечения плоскости Oyz и конической поверхности
находятся из решения системы уравнений: 
; в результате имеем 
прямые в плоскости Oyz.
Итак, проекцией V на плоскость
Oyz является область D — треугольник со сторонами z=y+2, z = –y+2, z=0 (рис. 14),
поэтому 
, где 
.
Так как область D — правильная, то рассматривая
ее как правильную в направлении Oy, имеем 
, а потому 
#
11. Вычислить 
, где область V ограничена поверхностями: 
.
Ñ
Поверхности 
и 
есть параболические цилиндры с образующими,
параллельными 
— плоскости. Область V — правильная
в направлении Oz, а потому 
для точек, принадлежащих V
(рис. 15).
Проекция V на плоскость Oxy есть правильная
область S, ограниченная линиями и (рис. 16), а потому, 
и 
.
Тогда = 
=
=
=½см. (2.3)½=
=
=
#
12. Вычислить тройной интеграл 
, где 
.
Ñ
Область V ограничена полусферой 
и полуконусом 
. Для удобства вычисления тройного интеграла перейдем к
сферическим координатам по формулам: 
, при этом 
. Неравенства, описывающие V, преобразуются:
а)
б) 
.
Так как нет ограничений на 
, то 
. В итоге, область интегрирования в сферических координатах
есть 
(этот же результат можно было усмотреть
из чертежа). Тогда по формуле 
=
½повторный
интеграл «расщепился» в произведение определенных интегралов½=
. #
