Вычислить тройной интеграл 
, где V ограничена полусферой 
, цилиндром 
и плоскостью 
.
Ñ
Тело V и проекция его на плоскость Oxy 
— круг радиуса R изображены на рис. 17 и 18. Для вычисления
I перейдем к цилиндрическим координатам 
по формулам 
. Поверхности, ограничивающие V преобразуются:
а)
, б) 
, в) z=a . Так как нет ограничений
на координату 
, то 
(или 
.Область интегрирования в цилиндрических
координатах есть 
.
Тогда по формуле 
= =
=
= 
= =
= 
#
14. Найти массу пластинки 
с поверхностной плотностью 
.
Ñ
По формуле 
. Область D и подынтегральная функция совпадают с областью
интегрирования и функцией из примера 9 при 
; там же вычислен этот двойной интеграл, поэтому 
и при 
. #
15.
Найти массу тела. 
, если объемная плотность 
.
Ñ
По формуле 
. Тройной интеграл I по данной области V вычислен в примере
12, 
, и потому 
.#
16. Найти объем тела 
; 
, 
.
Ñ
Из формулы 
. Тело V ограничено сферами, полуконусами и плоскостями
(рис. 19).
Из анализа уравнений и вида поверхностей следует
целесообразность перехода к сферическим координатам 
по формулам: 
, 
, 
. Поверхности, ограничивающие V, преобразуются: 1)
; 2) 
;
3) 
или 
;
4) 
;
5) 
; 6) 
.
Область
изменения сферических координат точек области V есть 
.
Тогда 
=
= 
. #
