Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Практикум по решению задач

Вычислить предел: .

Решение. В этом примере получаем неопределенность вида . Чтобы избавиться от неопределенности умножим и разделим выражение под знаком предела на сопряженное к нему и воспользуемся формулой разности квадратов.

Поэтому .

Ответ:

5. Вычислить предел: .

Решение. .

Числитель дроби, стоящей под знаком предела, является арифметической прогрессией, сумма которой равна . Поэтому

.

Ответ: .

6. Вычислить предел: .

Решение. В данном случае имеем неопределенность вида .

.

Ответ: .

7. Доказать (найти ), что: .

Решение. Зафиксируем произвольное >0. Требуется по этому найти такое >0, чтобы из условия вытекало бы неравенство . То есть

Отсюда получим, что если , то . То есть в качестве можно взять . Поэтому .

8. Доказать, что функция непрерывна в точке (найти ): .

Решение. Покажем, что при любом найдется такое , что при .

. Покажем, как для произвольного положительного действительного числа , найти такое положительное число , что , если .

Так как и нас интересует поведение функции в окрестности точки , то, не нарушая общности, будем считать, что рассматриваются только точки х такие, что . Тогда , а . Поэтому, для рассматриваемых х справедливы соотношения

.

Но, если (то есть ), то и . Пусть . Тогда, если , то . Значит функция непрерывна в точке